$\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$\cos^3 x$ を $\cos^2 x \cdot \cos x$ と分解し、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて、$\sin x$ の関数として積分を書き換える。

$\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \cos x \, dx$

$= \int \sin^2 x (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx$

ここで、$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x \, dx$ であるから、

$\int \sin^2 x (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx = \int u^2 (1 - u^2) \, du$

$= \int (u^2 - u^4) \, du$

$= \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C$

ここで、$u = \sin x$ を代入すると、

$\frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$