与えられた4つの関数を積分する問題です。 (1) $\int x\sqrt[3]{x-1} dx$ (2) $\int \sqrt{\frac{x-2}{x-1}} dx$ ($x > 2$) (3) $\int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x^2} dx$ (4) $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-x+1}} dx$

## 数学の問題を解く

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を積分する問題です。

(1) $\int x\sqrt[3]{x-1} dx$

(2) $\int \sqrt{\frac{x-2}{x-1}} dx$ ($x > 2$)

(3) $\int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x^2} dx$

(4) $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-x+1}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x\sqrt[3]{x-1} dx$

置換積分を用いる。$t = \sqrt[3]{x-1}$ とすると、$t^3 = x-1$ より $x = t^3 + 1$。また、$dx = 3t^2 dt$ となる。

したがって、

$$\int x\sqrt[3]{x-1} dx = \int (t^3 + 1)t \cdot 3t^2 dt = 3 \int (t^6 + t^3) dt = 3(\frac{t^7}{7} + \frac{t^4}{4}) + C$$

$$= \frac{3}{7} (\sqrt[3]{x-1})^7 + \frac{3}{4} (\sqrt[3]{x-1})^4 + C = \frac{3}{7} (x-1)^{7/3} + \frac{3}{4} (x-1)^{4/3} + C$$

(2) $\int \sqrt{\frac{x-2}{x-1}} dx$ ($x > 2$)

$$\sqrt{\frac{x-2}{x-1}} = \sqrt{\frac{x-1-1}{x-1}} = \sqrt{1 - \frac{1}{x-1}}$$

$u = x-1$と置換すると $x=u+1$ となり、$dx = du$

$$\int \sqrt{\frac{x-2}{x-1}} dx = \int \sqrt{1 - \frac{1}{u}} du = \int \sqrt{\frac{u-1}{u}} du$$

ここで、$t = \sqrt{\frac{u-1}{u}}$ とおくと、$t^2 = \frac{u-1}{u}$ より $t^2 u = u-1$。

したがって、$u(1-t^2) = 1$ より $u = \frac{1}{1-t^2}$。$du = \frac{2t}{(1-t^2)^2} dt$

$$\int \sqrt{\frac{u-1}{u}} du = \int t \cdot \frac{2t}{(1-t^2)^2} dt = 2\int \frac{t^2}{(1-t^2)^2} dt$$

$$\frac{t^2}{(1-t^2)^2} = \frac{1}{4}(\frac{1}{1-t} - \frac{1}{1+t})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1}{(1-t)^2} - \frac{2}{(1-t)(1+t)} + \frac{1}{(1+t)^2})$$

$$= \frac{1}{4}(\frac{1}{(1-t)^2} - \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} + \frac{1}{(1+t)^2})$$

$$\int \frac{t^2}{(1-t^2)^2} dt = \frac{1}{4}(\frac{1}{1-t} + \ln|1-t| + \ln|1+t| - \frac{1}{1+t}) + C$$

$$= \frac{1}{4}(\frac{2t}{1-t^2} + \ln|\frac{1+t}{1-t}|) + C$$

$$= \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{\frac{u-1}{u}}}{1-\frac{u-1}{u}} + \frac{1}{2} \ln|\frac{1+\sqrt{\frac{u-1}{u}}}{1-\sqrt{\frac{u-1}{u}}}|) + C$$

$$= \sqrt{u(u-1)} + \frac{1}{2} \ln|\frac{1+\sqrt{\frac{u-1}{u}}}{1-\sqrt{\frac{u-1}{u}}}| + C$$

$$= \sqrt{(x-1)(x-2)} + \ln(\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}) + C$$

(3) $\int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x^2} dx$

$\int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x^2} dx = \int \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}x} dx$

$x = \sin^2{\theta}$ とすると、$dx = 2\sin{\theta}\cos{\theta} d\theta$

$$\int \frac{\sqrt{\cos^2{\theta}}}{\sin{\theta}\sin^2{\theta}} 2\sin{\theta}\cos{\theta} d\theta = 2\int \frac{\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}} d\theta = 2\int \cot^2{\theta} d\theta = 2\int (\csc^2{\theta}-1) d\theta$$

$$= -2\cot{\theta} - 2\theta + C = -2\frac{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}}{\sin{\theta}} - 2\arcsin{\sqrt{x}} + C$$

$$= -2\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}} - 2\arcsin{\sqrt{x}} + C$$

(4) $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-x+1}} dx$

$t = \frac{1}{x}$とおくと、 $x = \frac{1}{t}$, $dx = -\frac{1}{t^2} dt$

$$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-x+1}} dx = \int \frac{1}{\frac{1}{t}\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}+1}} (-\frac{1}{t^2}) dt = \int \frac{-1}{\frac{1}{t^2} \sqrt{1-t+t^2}} dt$$

$$= \int \frac{-t^2}{\sqrt{t^2-t+1}} dt = -\int \frac{1}{\sqrt{\frac{t^2-t+1}{t^2}}} dx$$

$x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$

$u=x-\frac{1}{2}$とすると、$x=u+\frac{1}{2}$

$x\sqrt{x^2-x+1}=(u+\frac{1}{2})\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $\int x\sqrt[3]{x-1} dx = \frac{3}{7} (x-1)^{7/3} + \frac{3}{4} (x-1)^{4/3} + C$

(2) $\int \sqrt{\frac{x-2}{x-1}} dx = \sqrt{(x-1)(x-2)} + \ln(\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}) + C$

(3) $\int \frac{\sqrt{x(1-x)}}{x^2} dx = -2\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}} - 2\arcsin{\sqrt{x}} + C$

(4) 積分できず