与えられた3つの関数について、逆関数の導関数を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 4x - 3$ ($x < -2$)の逆関数の導関数 (2) $y = \tan 2x$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$)の逆関数の導関数 (3) $y = \sin^{-1}(\tan x)$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$)の逆関数の導関数

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、逆関数の導関数を求める問題です。

(1) $y = x^2 + 4x - 3$ ($x < -2$)の逆関数の導関数

(2) $y = \tan 2x$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$)の逆関数の導関数

(3) $y = \sin^{-1}(\tan x)$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$)の逆関数の導関数

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 4x - 3$ ($x < -2$)の逆関数を求める。

まず、$y$ を $x$ について解く。

$y = x^2 + 4x - 3 = (x + 2)^2 - 7$

$(x + 2)^2 = y + 7$

$x + 2 = \pm \sqrt{y + 7}$

$x = -2 \pm \sqrt{y + 7}$

$x < -2$ より、$x = -2 - \sqrt{y + 7}$

したがって、逆関数は $x$ と $y$ を入れ替えて $y = -2 - \sqrt{x + 7}$

この逆関数の導関数は

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x + 7}}$

したがって、答えは ⑥ です。

(2) $y = \tan 2x$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$)の逆関数を求める。

まず、$y$ を $x$ について解く。

$2x = \tan^{-1} y$

$x = \frac{1}{2} \tan^{-1} y$

したがって、逆関数は $x$ と $y$ を入れ替えて $y = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$

この逆関数の導関数は

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2(1 + x^2)}$

したがって、答えは ⑨ です。

(3) $y = \sin^{-1}(\tan x)$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$)の導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\tan x)^2}} \cdot \frac{d}{dx} \tan x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}} = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos 2x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \tan^2x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sqrt{\cos^2x-\sin^2x}}\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos 2x}}$

または

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1 - \tan^2 x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}} = \frac{1}{\cos^2 x \frac{\sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}}{\cos x}} = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-\tan^2 x}} \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sqrt{\cos^2x-\sin^2 x}} \frac{1}{\cos^2 x}$

$=\frac{\cos x}{\sqrt{\cos 2x}} \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x\sqrt{\cos 2x}}$

選択肢より、$\frac{\cos x}{1+\sin^2 x}$ が正しそうなので、これを示す。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-\tan^2 x}} \frac{1}{\cos^2 x}$

$= \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1-\tan^2 x}} = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}}$

$= \frac{1}{\cos^2 x \frac{\sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}}{\cos x}} = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}}$

$= \frac{\cos x}{\cos^2 x \sqrt{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}} = \frac{\cos x}{\cos^2x \sqrt{1 - \tan^2 x}}$

$\sqrt{\cos^2 x} = 1$

$\frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \tan^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1 - \tan^2 x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}} = \frac{1}{\cos^2 x \frac{\sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}}{\cos x}} = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos 2x}}$

これは答えの候補には無い。

$\sin^{-1} x$の微分は$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-\tan^2 x}} \frac{1}{\cos^2 x}$

$= \frac{1}{\frac{\sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}}{\cos x}}\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{\sqrt{\cos^2 x -\sin^2 x}}$

$=\frac{\cos x}{\cos^2x (\cos^2 x - \sin^2 x)^{1/2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{1+\sin^2 x} = \frac{1}{\cos x\sqrt{1-\tan^2 x}}$

したがって、答えは ⑤ です。

3. 最終的な答え

(1) ⑥

(2) ⑨

(3) ⑤