$y = \tan 2x$ （$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$）の逆関数の導関数 $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

$y = \tan 2x$ （$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$）の逆関数の導関数 $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$y = \tan 2x$の逆関数を求めます。逆関数を求めるために、$x$と$y$を入れ替えます。

$x = \tan 2y$

次に、$y$について解きます。

$2y = \arctan x$

$y = \frac{1}{2} \arctan x$

$y = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$

したがって、逆関数は$y = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$です。

次に、この逆関数の導関数を求めます。

$\frac{d}{dx} \tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}$

なので、

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{2} \tan^{-1} x) = \frac{1}{2} \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2(1+x^2)}$

選択肢の中の(9)が正解です。