微分可能な関数 $f(x)$ について、以下のことを証明する。 (1) $f(x)$ が偶関数ならば、$f'(x)$ は奇関数である。 (2) $f(x)$ が奇関数ならば、$f'(x)$ は偶関数である。

1. 問題の内容

微分可能な関数 $f(x)$ について、以下のことを証明する。

(1) $f(x)$ が偶関数ならば、$f'(x)$ は奇関数である。

(2) $f(x)$ が奇関数ならば、$f'(x)$ は偶関数である。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が偶関数であるとき、$f(-x) = f(x)$ が成り立つ。

この式の両辺を $x$ で微分する。

合成関数の微分を用いると、

$\frac{d}{dx} f(-x) = f'(-x) \cdot \frac{d}{dx} (-x) = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)$

$\frac{d}{dx} f(x) = f'(x)$

したがって、

$-f'(-x) = f'(x)$

$f'(-x) = -f'(x)$

これは、$f'(x)$ が奇関数であることを意味する。

(2) $f(x)$ が奇関数であるとき、$f(-x) = -f(x)$ が成り立つ。

この式の両辺を $x$ で微分する。

合成関数の微分を用いると、

$\frac{d}{dx} f(-x) = f'(-x) \cdot \frac{d}{dx} (-x) = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)$

$\frac{d}{dx} (-f(x)) = -f'(x)$

したがって、

$-f'(-x) = -f'(x)$

$f'(-x) = f'(x)$

これは、$f'(x)$ が偶関数であることを意味する。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ が偶関数ならば、$f'(x)$ は奇関数である。（証明終わり）

(2) $f(x)$ が奇関数ならば、$f'(x)$ は偶関数である。（証明終わり）