$\theta$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ を満たす定数とし、自然数 $n$ に対して $a_n = \tan \frac{\theta}{2^n}$ とおく。 (1) 数列 $\{2^n a_n\}$ の極限を求めよ。 (2) $n$ が2以上のとき $\frac{1}{a_n} - \frac{2}{a_{n-1}} = a_n$ が成り立つことを示せ。 (3) $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k}$ とおく。$n$ が2以上のとき $S_n$ を $a_1$ と $a_n$ で表せ。 (4) 無限級数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ を満たす定数とし、自然数 $n$ に対して $a_n = \tan \frac{\theta}{2^n}$ とおく。

(1) 数列 $\{2^n a_n\}$ の極限を求めよ。

(2) $n$ が2以上のとき $\frac{1}{a_n} - \frac{2}{a_{n-1}} = a_n$ が成り立つことを示せ。

(3) $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k}$ とおく。$n$ が2以上のとき $S_n$ を $a_1$ と $a_n$ で表せ。

(4) 無限級数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ を利用する。

$\lim_{n \to \infty} 2^n a_n = \lim_{n \to \infty} 2^n \tan \frac{\theta}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \theta \frac{\tan \frac{\theta}{2^n}}{\frac{\theta}{2^n}} = \theta \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \theta$

よって $\lim_{n \to \infty} 2^n a_n = \theta$

(2)

$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$ を用いる。

$a_{n-1} = \tan \frac{\theta}{2^{n-1}} = \tan (2 \cdot \frac{\theta}{2^n}) = \frac{2 \tan \frac{\theta}{2^n}}{1 - \tan^2 \frac{\theta}{2^n}} = \frac{2 a_n}{1 - a_n^2}$

$\frac{1}{a_n} - \frac{2}{a_{n-1}} = \frac{1}{a_n} - \frac{2(1 - a_n^2)}{2 a_n} = \frac{1 - (1 - a_n^2)}{a_n} = \frac{a_n^2}{a_n} = a_n$

よって $\frac{1}{a_n} - \frac{2}{a_{n-1}} = a_n$

(3)

$\frac{1}{a_k} - \frac{2}{a_{k-1}} = a_k$ より $\frac{a_k}{2^k} = \frac{1}{2^k a_k} - \frac{2}{2^k a_{k-1}} = \frac{1}{2^k a_k} - \frac{1}{2^{k-1} a_{k-1}}$

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k} = \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2^k a_k} - \frac{1}{2^{k-1} a_{k-1}}) = (\frac{1}{2^n a_n} - \frac{1}{2^{n-1} a_{n-1}}) + (\frac{1}{2^{n-1} a_{n-1}} - \frac{1}{2^{n-2} a_{n-2}}) + \cdots + (\frac{1}{2 a_2} - \frac{1}{a_1}) + \frac{a_1}{2}$

$= \frac{1}{2^n a_n} - \frac{1}{a_1}$ (ただし、$a_0=a_1$, $a_1 = \tan \frac{\theta}{2}$)

ただし、$n \ge 2$ のとき

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k} = \frac{a_1}{2} + \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{2^k} = \frac{a_1}{2} + \sum_{k=2}^n (\frac{1}{2^k a_k} - \frac{1}{2^{k-1} a_{k-1}})$

$= \frac{a_1}{2} + (\frac{1}{2^n a_n} - \frac{1}{2 a_1})$

$= \frac{1}{2^n a_n} - \frac{1}{2 a_1} + \frac{a_1}{2}$

ここで $\frac{1}{a_1} - \frac{2}{a_0} = a_1 \implies \frac{2}{a_0} = \frac{1}{a_1} - a_1$ より $a_0 = \frac{2}{\frac{1}{a_1} - a_1} = \tan \theta$ なので

$S_n = \frac{1}{2^n a_n} - \frac{1}{a_1}$

(4)

$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2^n a_n} - \frac{1}{a_1} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n \tan \frac{\theta}{2^n}} - \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2}}$

$= \frac{1}{\theta} - \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} 2^n a_n = \theta$

(2) $\frac{1}{a_n} - \frac{2}{a_{n-1}} = a_n$

(3) $S_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{2^{n}a_n}$

(4) $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n} = \frac{1}{\theta}$

$\frac{1}{\tan \frac{\theta}{2}}$