領域D上で二重積分 $\iint_D x \, dxdy$ を計算する問題です。領域Dは $0 \le x \le \pi$ かつ $0 \le y \le \sin x$ によって定義されます。

1. 問題の内容

領域D上で二重積分 $\iint_D x \, dxdy$ を計算する問題です。領域Dは $0 \le x \le \pi$ かつ $0 \le y \le \sin x$ によって定義されます。

2. 解き方の手順

まず、二重積分を累次積分に変換します。

$x$ の積分範囲は $0 \le x \le \pi$ であり、$y$ の積分範囲は $0 \le y \le \sin x$ なので、以下のようになります。

$\iint_D x \, dxdy = \int_0^\pi \left( \int_0^{\sin x} x \, dy \right) dx$

内側の積分を計算します。

$\int_0^{\sin x} x \, dy = x \int_0^{\sin x} dy = x[y]_0^{\sin x} = x \sin x$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^\pi x \sin x \, dx$

この積分は部分積分を使って計算します。$u = x$、$dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$、$v = -\cos x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int_0^\pi x \sin x \, dx = [-x \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x) \, dx$

$= [-\pi \cos \pi - ( -0 \cos 0)] + \int_0^\pi \cos x \, dx$

$= [-\pi(-1) - 0] + [\sin x]_0^\pi$

$= \pi + [\sin \pi - \sin 0]$

$= \pi + [0 - 0]$

$= \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$