問7：与えられた重積分 $I$ に対して、累次積分（繰り返し積分）の形で表し、さらに $I$ の値を計算する。 (1) $I = \iint_{[0,2] \times [1,3]} x^3 y \, dx \, dy$ (2) $I = \iint_D y \, dx \, dy$, $D = \{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq 1\}$ (3) $I = \iint_D (x+y) \, dx \, dy$, $D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq x\}$ (4) $I = \iint_D \sqrt{\cos^2 x - y^2} \, dx \, dy$, $D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, -\cos x \leq y \leq \cos x\}$

1. 問題の内容

問7：与えられた重積分 $I$ に対して、累次積分（繰り返し積分）の形で表し、さらに $I$ の値を計算する。

(1) $I = \iint_{[0,2] \times [1,3]} x^3 y \, dx \, dy$

(2) $I = \iint_D y \, dx \, dy$, $D = \{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq 1\}$

(3) $I = \iint_D (x+y) \, dx \, dy$, $D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq x\}$

(4) $I = \iint_D \sqrt{\cos^2 x - y^2} \, dx \, dy$, $D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, -\cos x \leq y \leq \cos x\}$

2. 解き方の手順

(1)

累次積分：

$\int_{1}^{3} \int_{0}^{2} x^3 y \, dx \, dy$

$I = \int_{1}^{3} \left[ \frac{1}{4} x^4 y \right]_{x=0}^{x=2} dy = \int_{1}^{3} 4y \, dy = \left[ 2y^2 \right]_{1}^{3} = 2(9-1) = 16$

(2)

領域 $D$ を $x$ で積分し、$y$ について積分する。

$\sqrt{y} \le 1 - \sqrt{x}$ より、$y \le (1-\sqrt{x})^2 = 1 - 2\sqrt{x} + x$

また、$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ より、$x$ の範囲は $0 \le x \le 1$.

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{(1-\sqrt{x})^2} y \, dy \, dx = \int_{0}^{1} \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_{y=0}^{y=(1-\sqrt{x})^2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - 2\sqrt{x} + x)^2 dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 + 4x + x^2 - 4\sqrt{x} + 2x - 4x\sqrt{x}) dx$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 + 6x + x^2 - 4\sqrt{x} - 4x\sqrt{x}) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ x + 3x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{8}{3} x^{3/2} - \frac{8}{5}x^{5/2} \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2} \left( 1 + 3 + \frac{1}{3} - \frac{8}{3} - \frac{8}{5} \right) = \frac{1}{2} \left( 4 - \frac{7}{3} - \frac{8}{5} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{60 - 35 - 24}{15} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{15} \right) = \frac{1}{30}$

(3)

$\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} (x+y) \, dy \, dx$

$I = \int_{0}^{1} \left[ xy + \frac{1}{2} y^2 \right]_{y=x^2}^{y=x} dx = \int_{0}^{1} \left( x^2 + \frac{1}{2} x^2 - x^3 - \frac{1}{2} x^4 \right) dx$

$= \int_{0}^{1} \left( \frac{3}{2} x^2 - x^3 - \frac{1}{2} x^4 \right) dx = \left[ \frac{1}{2} x^3 - \frac{1}{4} x^4 - \frac{1}{10} x^5 \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{10 - 5 - 2}{20} = \frac{3}{20}$

(4)

$\int_{0}^{\pi/2} \int_{-\cos x}^{\cos x} \sqrt{\cos^2 x - y^2} \, dy \, dx$

$y = (\cos x) \sin \theta$ と置換すると、$dy = (\cos x) \cos \theta \, d\theta$

$\int_{0}^{\pi/2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{\cos^2 x - \cos^2 x \sin^2 \theta} (\cos x) \cos \theta \, d\theta \, dx$

$= \int_{0}^{\pi/2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 x \cos \theta \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \, d\theta \, dx$

$= \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x dx \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x dx \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx \left[ \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}$

$= \left[ \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2x \right]_{0}^{\pi/2} \left[ \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}$

$= \left( \frac{\pi}{4} \right) \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 累次積分：$\int_{1}^{3} \int_{0}^{2} x^3 y \, dx \, dy$、値：$16$

(2) 累次積分：$\int_{0}^{1} \int_{0}^{(1-\sqrt{x})^2} y \, dy \, dx$、値：$\frac{1}{30}$

(3) 累次積分：$\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} (x+y) \, dy \, dx$、値：$\frac{3}{20}$

(4) 累次積分：$\int_{0}^{\pi/2} \int_{-\cos x}^{\cos x} \sqrt{\cos^2 x - y^2} \, dy \, dx$、値：$\frac{\pi^2}{8}$