二重積分 $\iint_D x dxdy$ を計算します。積分領域 $D$ は、$0 \le y \le x$ かつ $0 \le x \le 1$ で定義されます。

1. 問題の内容

二重積分 $\iint_D x dxdy$ を計算します。積分領域 $D$ は、$0 \le y \le x$ かつ $0 \le x \le 1$ で定義されます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ について積分し、次に $x$ について積分します。積分範囲は、$y$ が $0$ から $x$ まで、$x$ が $0$ から $1$ までです。

$\iint_D x dxdy = \int_0^1 \left( \int_0^x x dy \right) dx$

内側の積分を計算します。

$\int_0^x x dy = x \int_0^x dy = x [y]_0^x = x(x - 0) = x^2$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$