半径 $a$ の半球面 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ と $xy$ 平面で囲まれた部分の体積を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

1. 問題の内容

半径 $a$ の半球面 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ と $xy$ 平面で囲まれた部分の体積を求める問題です。ただし、$a > 0$ とします。

2. 解き方の手順

半球の体積は、二重積分を使って計算できます。$xy$ 平面上での積分範囲は、円 $x^2 + y^2 \le a^2$ となります。

体積 $V$ は、次の二重積分で表されます。

$V = \iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \, dx \, dy$

ここで、$D$ は円 $x^2 + y^2 \le a^2$ です。

積分を計算するために、極座標変換を行います。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$

積分範囲は、$0 \le r \le a$、$0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

$z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} = \sqrt{a^2 - r^2}$

したがって、体積 $V$ は、次の二重積分で計算できます。

$V = \int_0^{2\pi} \int_0^a \sqrt{a^2 - r^2} \, r \, dr \, d\theta$

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$u = a^2 - r^2$ とおくと、$du = -2r \, dr$ となり、$r \, dr = -\frac{1}{2} \, du$ です。

$r = 0$ のとき、$u = a^2$ で、$r = a$ のとき、$u = 0$ です。

$\int_0^a \sqrt{a^2 - r^2} \, r \, dr = \int_{a^2}^0 \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) \, du = \frac{1}{2} \int_0^{a^2} u^{\frac{1}{2}} \, du$

$= \frac{1}{2} \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_0^{a^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (a^2)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} a^3$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$V = \int_0^{2\pi} \frac{1}{3} a^3 \, d\theta = \frac{1}{3} a^3 \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{3} a^3 [\theta]_0^{2\pi} = \frac{1}{3} a^3 (2\pi) = \frac{2}{3} \pi a^3$

3. 最終的な答え

求める体積は $\frac{2}{3} \pi a^3$ です。