曲線 $y = x^3 - 2x + 3$ 上の点 $A(-2, -1)$ における接線を $l$ とする。 (1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) この曲線には、$l$ に平行なもう1本の接線がある。その接点Bの $x$ 座標を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 2x + 3$ 上の点 $A(-2, -1)$ における接線を $l$ とする。

(1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) この曲線には、$l$ に平行なもう1本の接線がある。その接点Bの $x$ 座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、曲線 $y = x^3 - 2x + 3$ の導関数を求める。

$y' = 3x^2 - 2$

点 $A(-2, -1)$ における接線の傾きは、 $x = -2$ を代入して

$y'(-2) = 3(-2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$

したがって、接線 $l$ の方程式は、点 $A(-2, -1)$ を通り、傾きが10の直線であるから

$y - (-1) = 10(x - (-2))$

$y + 1 = 10(x + 2)$

$y + 1 = 10x + 20$

$y = 10x + 19$

(2)

$l$ に平行な接線を持つ点の $x$ 座標を求める。$l$ に平行なので、接線の傾きは $10$ である。

したがって、$3x^2 - 2 = 10$ を解く。

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

点Aの $x$ 座標は $-2$ なので、もう一つの接点の $x$ 座標は $2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = 10x + 19$

(2) $x = 2$