関数 $y = x^3 - 12x$ の $-4 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 12x$ の $-4 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^3 - 12x$ を微分して、極値を求めるために $y'=0$ となる $x$ を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12$

$y' = 0$ とすると、

$3x^2 - 12 = 0$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

したがって、極値を与える $x$ は $x = 2$ と $x = -2$ です。

次に、区間の端点 $x = -4$ と $x = 3$ および極値を与える $x = -2$ と $x = 2$ における $y$ の値を計算します。

$x = -4$ のとき、$y = (-4)^3 - 12(-4) = -64 + 48 = -16$

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$

$x = 2$ のとき、$y = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$

$x = 3$ のとき、$y = (3)^3 - 12(3) = 27 - 36 = -9$

これらの値から、最大値と最小値を決定します。

3. 最終的な答え

最大値：16 ($x = -2$ のとき)

最小値：-16 ($x = -4$ および $x = 2$ のとき)