次の2重積分を、極座標を利用して求めよ。 $\iint_D \log{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dxdy$ ここで、積分領域Dは $1 \le x^2 + y^2 \le 4$、$x \ge 0$、$y \ge 0$で定義される。

はい、承知いたしました。問題の指示に従い、画像にある問題(4)を解きます。

1. 問題の内容

次の2重積分を、極座標を利用して求めよ。

$\iint_D \log{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dxdy$

ここで、積分領域Dは $1 \le x^2 + y^2 \le 4$、$x \ge 0$、$y \ge 0$で定義される。

2. 解き方の手順

まず、極座標変換を行います。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$とおくと、$x^2 + y^2 = r^2$となります。

また、$dxdy = r\,drd\theta$となります。

積分領域Dを極座標で表すと、

$1 \le r^2 \le 4$より、$1 \le r \le 2$となります。

$x \ge 0$、$y \ge 0$より、$\theta$の範囲は$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$となります。

与えられた積分は、

$\iint_D \log{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dxdy = \int_0^{\pi/2} \int_1^2 \log{\sqrt{r^2}} \, r\,drd\theta = \int_0^{\pi/2} \int_1^2 \log{r} \, r\,drd\theta$

となります。

積分を計算します。まず、$r$に関する積分を行います。

$\int_1^2 r\log{r} \, dr$を計算するために、部分積分を用います。

$u = \log{r}$、$dv = r\,dr$とすると、$du = \frac{1}{r} \, dr$、$v = \frac{1}{2}r^2$となります。

したがって、

$\int_1^2 r\log{r} \, dr = \left[ \frac{1}{2}r^2 \log{r} \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{1}{r} \, dr = \left[ \frac{1}{2}r^2 \log{r} \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{1}{2}r \, dr$

$= \left( \frac{1}{2} \cdot 2^2 \log{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \log{1} \right) - \left[ \frac{1}{4}r^2 \right]_1^2 = 2\log{2} - 0 - \left( \frac{1}{4} \cdot 2^2 - \frac{1}{4} \cdot 1^2 \right) = 2\log{2} - \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 2\log{2} - \frac{3}{4}$

次に、$\theta$に関する積分を行います。

$\int_0^{\pi/2} \left( 2\log{2} - \frac{3}{4} \right) \, d\theta = \left( 2\log{2} - \frac{3}{4} \right) \int_0^{\pi/2} d\theta = \left( 2\log{2} - \frac{3}{4} \right) \left[ \theta \right]_0^{\pi/2} = \left( 2\log{2} - \frac{3}{4} \right) \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \log{2} - \frac{3\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\pi \log{2} - \frac{3\pi}{8}$