関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 9x$ の増減を調べよ。

## 問題81

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 9x$ の増減を調べよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3 - 9x) = x^2 - 9$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは極値を取る可能性のある点です。

$x^2 - 9 = 0$

$(x - 3)(x + 3) = 0$

$x = 3, -3$

(3) $f'(x)$ の符号を調べ、増減表を作成します。

- $x < -3$ のとき、$f'(x) > 0$ (例: $x = -4$ なら $f'(-4) = 16 - 9 = 7 > 0$) なので、$f(x)$ は増加します。

- $-3 < x < 3$ のとき、$f'(x) < 0$ (例: $x = 0$ なら $f'(0) = -9 < 0$) なので、$f(x)$ は減少します。

- $x > 3$ のとき、$f'(x) > 0$ (例: $x = 4$ なら $f'(4) = 16 - 9 = 7 > 0$) なので、$f(x)$ は増加します。

増減表は次のようになります。

| x | ... | -3 | ... | 3 | ... |

| :----- | :---- | :-- | :---- | :-- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | | 減少 | | 増加 |

(4) $x = -3$ で極大値を、$x = 3$ で極小値を取ります。 それぞれの極値を計算します。

$f(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 - 9(-3) = -9 + 27 = 18$ (極大値)

$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 9(3) = 9 - 27 = -18$ (極小値)

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 9x$ は、

- $x < -3$ で増加

- $-3 < x < 3$ で減少

- $x > 3$ で増加

$x = -3$ で極大値 $18$

$x = 3$ で極小値 $-18$

を取る。

## 問題82 (1)

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 3x + 2$ の増減を調べ、極値を求めよ。また、そのグラフをかけ。

2. 解き方の手順

(1) $y$ の導関数 $y'$ を計算します。

$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$3(x - 1)(x + 1) = 0$

$x = 1, -1$

(3) $y'$ の符号を調べ、増減表を作成します。

- $x < -1$ のとき、$y' > 0$ (例: $x = -2$ なら $y' = 3(4) - 3 = 9 > 0$) なので、$y$ は増加します。

- $-1 < x < 1$ のとき、$y' < 0$ (例: $x = 0$ なら $y' = -3 < 0$) なので、$y$ は減少します。

- $x > 1$ のとき、$y' > 0$ (例: $x = 2$ なら $y' = 3(4) - 3 = 9 > 0$) なので、$y$ は増加します。

増減表は次のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| :----- | :---- | :-- | :---- | :-- | :---- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | | 減少 | | 増加 |

(4) $x = -1$ で極大値を、$x = 1$ で極小値を取ります。 それぞれの極値を計算します。

$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$ (極大値)

$y(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ (極小値)

(5) グラフを描くために、いくつかの点を計算します。

- $x = 0$ のとき、$y = 2$

- $y = 0$ のとき、$x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0$ より $x = 1, -2$

3. 最終的な答え

関数 $y = x^3 - 3x + 2$ は、

- $x < -1$ で増加

- $-1 < x < 1$ で減少

- $x > 1$ で増加

$x = -1$ で極大値 $4$

$x = 1$ で極小値 $0$

を取る。

グラフは、極大値 $(-1, 4)$、極小値 $(1, 0)$ を持ち、$y$切片は $(0, 2)$、$x$切片は $(1, 0)$ (重解) と $(-2, 0)$ です。

## 問題82 (2)

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^3 + 12x^2 - 18x$ の増減を調べ、極値を求めよ。また、そのグラフをかけ。

2. 解き方の手順

(1) $y$ の導関数 $y'$ を計算します。

$y' = \frac{dy}{dx} = -6x^2 + 24x - 18$

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-6x^2 + 24x - 18 = 0$

$-6(x^2 - 4x + 3) = 0$

$-6(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

(3) $y'$ の符号を調べ、増減表を作成します。

- $x < 1$ のとき、$y' < 0$ (例: $x = 0$ なら $y' = -18 < 0$) なので、$y$ は減少します。

- $1 < x < 3$ のとき、$y' > 0$ (例: $x = 2$ なら $y' = -6(4) + 24(2) - 18 = -24 + 48 - 18 = 6 > 0$) なので、$y$ は増加します。

- $x > 3$ のとき、$y' < 0$ (例: $x = 4$ なら $y' = -6(16) + 24(4) - 18 = -96 + 96 - 18 = -18 < 0$) なので、$y$ は減少します。

増減表は次のようになります。

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| :----- | :---- | :-- | :---- | :-- | :---- |

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | 減少 | | 増加 | | 減少 |

(4) $x = 1$ で極小値を、$x = 3$ で極大値を取ります。 それぞれの極値を計算します。

$y(1) = -2(1)^3 + 12(1)^2 - 18(1) = -2 + 12 - 18 = -8$ (極小値)

$y(3) = -2(3)^3 + 12(3)^2 - 18(3) = -2(27) + 12(9) - 54 = -54 + 108 - 54 = 0$ (極大値)

(5) グラフを描くために、いくつかの点を計算します。

- $x = 0$ のとき、$y = 0$

- $y = 0$ のとき、$-2x^3 + 12x^2 - 18x = -2x(x^2 - 6x + 9) = -2x(x-3)^2 = 0$ より $x = 0, 3$

3. 最終的な答え

関数 $y = -2x^3 + 12x^2 - 18x$ は、

- $x < 1$ で減少

- $1 < x < 3$ で増加

- $x > 3$ で減少

$x = 1$ で極小値 $-8$

$x = 3$ で極大値 $0$

を取る。

グラフは、極小値 $(1, -8)$、極大値 $(3, 0)$ を持ち、$y$切片は $(0, 0)$、$x$切片は $(0, 0)$ と $(3, 0)$ (重解) です。