(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$、$\cos \alpha = \frac{3}{5}$、$\sin \beta = \frac{12}{13}$ を満たす角 $\alpha, \beta$ について、$\sin 2\alpha$, $\tan (\alpha - \beta)$, $\sin(2\alpha + \beta)$ の値を求める。 (2) $\sin x + \sin y = 1$, $\cos x + \cos y = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos(x-y)$ の値を求める。 (3) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ とする。$\tan \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5}$ のとき、$\alpha$ と $\frac{\pi}{4}$ の大小を比較する。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$、$\cos \alpha = \frac{3}{5}$、$\sin \beta = \frac{12}{13}$ を満たす角 $\alpha, \beta$ について、$\sin 2\alpha$, $\tan (\alpha - \beta)$, $\sin(2\alpha + \beta)$ の値を求める。

(2) $\sin x + \sin y = 1$, $\cos x + \cos y = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos(x-y)$ の値を求める。

(3) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ とする。$\tan \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5}$ のとき、$\alpha$ と $\frac{\pi}{4}$ の大小を比較する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin \alpha$ と $\cos \beta$ を求める。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin \alpha > 0$ なので、

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より、$\cos \beta < 0$ なので、

$\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$

$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$

$\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{\frac{4}{3} - (-\frac{12}{5})}{1 + \frac{4}{3} \cdot (-\frac{12}{5})} = \frac{\frac{20+36}{15}}{1 - \frac{48}{15}} = \frac{\frac{56}{15}}{\frac{15-48}{15}} = \frac{56}{-33} = -\frac{56}{33}$

$\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$、$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{3}{5})^2 - (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

$\sin (2\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta = \frac{24}{25} \cdot (-\frac{5}{13}) + (-\frac{7}{25}) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{120}{325} - \frac{84}{325} = -\frac{204}{325}$

(2)

$\sin x + \sin y = 1$

$\cos x + \cos y = \frac{1}{3}$

両辺をそれぞれ2乗すると

$(\sin x + \sin y)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \sin y + \sin^2 y = 1$

$(\cos x + \cos y)^2 = \cos^2 x + 2 \cos x \cos y + \cos^2 y = \frac{1}{9}$

足し合わせると

$\sin^2 x + \cos^2 x + \sin^2 y + \cos^2 y + 2 (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 1 + \frac{1}{9}$

$1 + 1 + 2 \cos(x-y) = \frac{10}{9}$

$2 + 2 \cos(x-y) = \frac{10}{9}$

$2 \cos(x-y) = \frac{10}{9} - 2 = \frac{10-18}{9} = -\frac{8}{9}$

$\cos(x-y) = -\frac{4}{9}$

(3)

$\tan \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5}$

$\tan \frac{\pi}{16}$ を計算する。

$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$

$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{4}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{4}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12}$

$\tan \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{5}{12}}{1 - (\frac{5}{12})^2} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \frac{5 \cdot 24}{119} = \frac{120}{119}$

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ なので、$\frac{\pi}{4} = 1$となるような $\alpha$ が存在しない。

$\tan \alpha > 1$ より、$\alpha > \frac{\pi}{4}$ とわかる。

別の解法:

$\tan \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{5} < \tan \frac{\pi}{16}$

$\alpha < \frac{\pi}{4}$ を示すためには、$\tan \frac{\pi}{16} > \frac{1}{5}$ を示す必要がある。

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ である。

$\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$

$\tan \frac{\pi}{16} = \frac{2 \tan \frac{\pi}{32}}{1 - \tan^2 \frac{\pi}{32}}$

$\frac{1}{5} = 0.2$

$\sqrt{2} \approx 1.414$

$\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$

$\tan \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

$\tan \frac{\pi}{16} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{8}}{\sin \frac{\pi}{8}} = \frac{\sin \frac{\pi}{8}}{1 + \cos \frac{\pi}{8}}$

$\alpha < \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$, $\tan(\alpha - \beta) = -\frac{56}{33}$, $\sin(2\alpha + \beta) = -\frac{204}{325}$

(2) $\cos(x-y) = -\frac{4}{9}$

(3) $\alpha < \frac{\pi}{4}$