$0 \le \theta < \pi$ のとき、方程式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sin(2\theta)$ の解を求める問題です。 $\alpha = \theta + \frac{\pi}{6}$、$\beta = 2\theta$ とおくと、$\sin \alpha = \sin \beta$ となります。 (i) 2つの一般角 $\alpha$ と $\beta$ が等しければ、$\sin \alpha$ と $\sin \beta$ は等しい。$\alpha = \beta$ を満たす $\theta$ は何か、そして、そのときの $\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ と $\sin(2\theta)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < \pi$ のとき、方程式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sin(2\theta)$ の解を求める問題です。

$\alpha = \theta + \frac{\pi}{6}$、$\beta = 2\theta$ とおくと、$\sin \alpha = \sin \beta$ となります。

(i) 2つの一般角 $\alpha$ と $\beta$ が等しければ、$\sin \alpha$ と $\sin \beta$ は等しい。$\alpha = \beta$ を満たす $\theta$ は何か、そして、そのときの $\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ と $\sin(2\theta)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(i) $\alpha = \beta$ より、$\theta + \frac{\pi}{6} = 2\theta$。

よって、$\theta = \frac{\pi}{6}$。これは $0 \le \theta < \pi$ を満たすので、方程式の解の一つです。

$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき、

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(2\theta) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

ア：$\frac{\pi}{6}$

イ：3

ウ：2

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sin(2\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$