与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。ただし、(6)の $a$ は1でない正の定数とします。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。ただし、(6)の $a$ は1でない正の定数とします。

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{2x}$

合成関数の微分を利用します。$u = 2x$ とおくと、$y = e^u$ となり、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 2 = 2e^{2x}$

(2) $y = e^{-x^2}$

(1)と同様に、合成関数の微分を利用します。$u = -x^2$ とおくと、$y = e^u$ となり、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = -2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

(3) $y = 3^x$

指数関数の微分公式 $\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$ を利用します。

$\frac{dy}{dx} = 3^x \ln 3$

(4) $y = 2^{-3x}$

(3)と同様に、合成関数の微分を利用します。$u=-3x$ とおくと、$y=2^u$ となり、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{dy}{du} = 2^u \ln 2$

$\frac{du}{dx} = -3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2^u \ln 2 \cdot (-3) = -3\cdot 2^{-3x} \ln 2$

(5) $y = xe^x$

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を利用します。$u = x, v = e^x$ とすると、

$u' = 1$

$v' = e^x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

(6) $y = (2x-1)a^x$

積の微分公式を利用します。$u = 2x-1, v = a^x$ とすると、

$u' = 2$

$v' = a^x \ln a$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot a^x + (2x-1) \cdot a^x \ln a = 2a^x + (2x-1)a^x \ln a = a^x(2 + (2x-1)\ln a)$

3. 最終的な答え

(1) $2e^{2x}$

(2) $-2xe^{-x^2}$

(3) $3^x \ln 3$

(4) $-3 \cdot 2^{-3x} \ln 2$

(5) $(x+1)e^x$

(6) $a^x(2 + (2x-1)\ln a)$