$\lim_{x \to \infty} x \sin{\frac{3}{2x}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x \sin{\frac{3}{2x}}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x \sin{\frac{3}{2x}} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \sin{\frac{3t}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{3t}{2}}}{t}$

ここで、$\frac{3}{2}t = u$ と置換すると、$t = \frac{2}{3}u$ となり、$t \to 0$ のとき $u \to 0$ となります。

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin{\frac{3t}{2}}}{t} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin{u}}{\frac{2}{3}u} = \frac{3}{2} \lim_{u \to 0} \frac{\sin{u}}{u}$

$\lim_{u \to 0} \frac{\sin{u}}{u} = 1$ であるので、

$\lim_{x \to \infty} x \sin{\frac{3}{2x}} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$