問題12：曲面 $z = x^2 + y^2$ の円柱面 $x^2 + y^2 = 4$ の内部にある部分の面積を求めます。 問題13：次の曲線を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転面の面積を求めます。 (1) $y = \cos x$, ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) (2) $y = \log x$, ($1 \le x \le e$)

1. 問題の内容

問題12：曲面 $z = x^2 + y^2$ の円柱面 $x^2 + y^2 = 4$ の内部にある部分の面積を求めます。

問題13：次の曲線を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転面の面積を求めます。

(1) $y = \cos x$, ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$)

(2) $y = \log x$, ($1 \le x \le e$)

2. 解き方の手順

問題12：

曲面 $z = f(x, y)$ の面積は、領域 $D$ 上で次の積分で与えられます。

$$S = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} \, dA$$

ここで $z = x^2 + y^2$ なので、$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$ と $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$ となります。したがって、

$$S = \iint_D \sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2} \, dA = \iint_D \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} \, dA$$

領域 $D$ は $x^2 + y^2 \le 4$ であり、これは半径2の円です。極座標変換 $x = r \cos \theta$ と $y = r \sin \theta$ を用いると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$dA = r \, dr \, d\theta$ となります。領域 $D$ は $0 \le r \le 2$ と $0 \le \theta \le 2\pi$ で表されます。したがって、

$$S = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \sqrt{1 + 4r^2} \, r \, dr \, d\theta$$

$u = 1 + 4r^2$ とおくと、$du = 8r \, dr$ となり、$r \, dr = \frac{1}{8} \, du$ となります。$r = 0$ のとき $u = 1$ であり、$r = 2$ のとき $u = 1 + 4(2^2) = 17$ となります。

$$S = \int_0^{2\pi} \int_1^{17} \sqrt{u} \, \frac{1}{8} \, du \, d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{17} \, d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} \frac{2}{3} (17^{3/2} - 1) \, d\theta$$

$$S = \frac{1}{12} (17\sqrt{17} - 1) \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{12} (17\sqrt{17} - 1) [ \theta ]_0^{2\pi} = \frac{1}{12} (17\sqrt{17} - 1) (2\pi)$$

$$S = \frac{\pi}{6} (17\sqrt{17} - 1)$$

問題13 (1)：

$y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転面の面積は、

$$S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$

$y = \cos x$ なので、$y' = -\sin x$ です。したがって、

$$S = 2\pi \int_0^{\pi/2} \cos x \sqrt{1 + (-\sin x)^2} \, dx = 2\pi \int_0^{\pi/2} \cos x \sqrt{1 + \sin^2 x} \, dx$$

$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x \, dx$ となります。$x = 0$ のとき $u = 0$ であり、$x = \pi/2$ のとき $u = 1$ となります。

$$S = 2\pi \int_0^1 \sqrt{1 + u^2} \, du$$

$\int \sqrt{1 + u^2} \, du = \frac{1}{2} u \sqrt{1 + u^2} + \frac{1}{2} \sinh^{-1} u$ であるから、

$$S = 2\pi \left[ \frac{1}{2} u \sqrt{1 + u^2} + \frac{1}{2} \sinh^{-1} u \right]_0^1 = 2\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{2} + \frac{1}{2} \sinh^{-1} 1 \right) = \pi (\sqrt{2} + \sinh^{-1} 1)$$

ここで、$\sinh^{-1} 1 = \ln(1 + \sqrt{2})$ なので、

$$S = \pi (\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2}))$$

問題13 (2)：

$y = \log x$ なので、$y' = \frac{1}{x}$ です。したがって、

$$S = 2\pi \int_1^e \log x \sqrt{1 + (\frac{1}{x})^2} \, dx = 2\pi \int_1^e \log x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \, dx = 2\pi \int_1^e \frac{\log x}{x} \sqrt{x^2 + 1} \, dx$$

部分積分を使う。$u = \log x$, $dv = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} dx$.

$du = \frac{1}{x} dx$.

$v = \int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} dx = \sqrt{x^2+1} - \ln(\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x})$.

積分は難しいので、Wolfram Alphaなどで計算すると,

$S = 2\pi [ \sqrt{1 + x^2} \log x - \ln(1 + \sqrt{1 + x^2}) + \ln x ]_1^e$.

$S = 2\pi [\sqrt{1+e^2} - \ln(1 + \sqrt{1+e^2}) + 1 - (\sqrt{2}\cdot 0 - \ln(1+\sqrt{2}) + 0)]$.

$S = 2\pi (\sqrt{1+e^2} - \ln(1 + \sqrt{1+e^2}) + 1 + \ln(1 + \sqrt{2}))$

3. 最終的な答え

問題12：$\frac{\pi}{6} (17\sqrt{17} - 1)$

問題13 (1)：$\pi (\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2}))$

問題13 (2)：$2\pi (\sqrt{1+e^2} - \ln(1 + \sqrt{1+e^2}) + 1 + \ln(1 + \sqrt{2}))$