全平面$E^2$ 上での関数 $e^{-3x^2 - 3y^2}$ の積分を求めます。つまり、 $$I = \iint_{E^2} e^{-3x^2 - 3y^2} dxdy$$ を計算します。

1. 問題の内容

全平面$E^2$ 上での関数 $e^{-3x^2 - 3y^2}$ の積分を求めます。つまり、

$$I = \iint_{E^2} e^{-3x^2 - 3y^2} dxdy$$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を次のように書き換えます。

$$I = \iint_{E^2} e^{-3x^2} e^{-3y^2} dxdy$$

積分領域が全平面であるため、積分を次のように分離できます。

$$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-3x^2} dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-3y^2} dy$$

ここで、次のガウス積分を利用します。

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

この公式を適用すると、$x$に関する積分は

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-3x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{3}}$$

同様に、$y$に関する積分は

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-3y^2} dy = \sqrt{\frac{\pi}{3}}$$

したがって、

$$I = \sqrt{\frac{\pi}{3}} \sqrt{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{\pi}{3}$$