与えられた重積分を計算する問題です。具体的には以下の4つの重積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{2} \int_{0}^{2} xy \, dy \, dx$ (2) $\int_{0}^{1} \int_{2y^2}^{2y} y \, dx \, dy$ (3) $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$, where $D: 0 \leq x \leq y \leq 2-x$ (4) $\iint_D x \, dx \, dy$, where $D: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \cos x$

1. 問題の内容

与えられた重積分を計算する問題です。具体的には以下の4つの重積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{2} \int_{0}^{2} xy \, dy \, dx$

(2) $\int_{0}^{1} \int_{2y^2}^{2y} y \, dx \, dy$

(3) $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$, where $D: 0 \leq x \leq y \leq 2-x$

(4) $\iint_D x \, dx \, dy$, where $D: 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \cos x$

2. 解き方の手順

(1) まず内側の積分を計算し、その結果を外側の積分で計算します。

(2) 同様に、内側の積分を計算し、その結果を外側の積分で計算します。

(3) 積分領域Dを考慮して、積分範囲を決定します。Dは $x \leq y$ かつ $y \leq 2-x$ かつ $0 \leq x$ で定義されます。まず$x$と$y$の交点を求めます。$x = y$ と $y = 2 - x$より、$x = 2 - x$すなわち$x = 1$となります。ゆえに$y = 1$です。積分範囲は$0 \leq x \leq 1$, $x \leq y \leq 2 - x$となります。

(4) 積分領域Dを考慮して、積分範囲を決定します。Dは $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ かつ $0 \leq y \leq \cos x$ で定義されます。

3. 最終的な答え

(1)

$\int_{1}^{2} \int_{0}^{2} xy \, dy \, dx = \int_{1}^{2} x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} dx = \int_{1}^{2} x \cdot \frac{4}{2} dx = \int_{1}^{2} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{1}^{2} = 4 - 1 = 3$

(2)

$\int_{0}^{1} \int_{2y^2}^{2y} y \, dx \, dy = \int_{0}^{1} y \left[ x \right]_{2y^2}^{2y} dy = \int_{0}^{1} y (2y - 2y^2) dy = \int_{0}^{1} (2y^2 - 2y^3) dy = \left[ \frac{2}{3} y^3 - \frac{1}{2} y^4 \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}$

(3)

$\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{x}^{2-x} x^2 y^2 \, dy \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{x}^{2-x} dx = \int_{0}^{1} x^2 \left( \frac{(2-x)^3}{3} - \frac{x^3}{3} \right) dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} x^2 ((2-x)^3 - x^3) dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} x^2 (8 - 12x + 6x^2 - x^3 - x^3) dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} x^2 (8 - 12x + 6x^2 - 2x^3) dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (8x^2 - 12x^3 + 6x^4 - 2x^5) dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{8}{3} x^3 - 3x^4 + \frac{6}{5} x^5 - \frac{1}{3} x^6 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left( \frac{8}{3} - 3 + \frac{6}{5} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{7}{3} - 3 + \frac{6}{5} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{35 - 45 + 18}{15} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{8}{15} \right) = \frac{8}{45}$

(4)

$\iint_D x \, dx \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\cos x} x \, dy \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \left[ y \right]_{0}^{\cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx$

部分積分を用いて計算します。$u = x, dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx, v = \sin x$ となります。

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx = \left[ x \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} \right) - (0 \cdot \sin 0 + \cos 0) = \left( \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 \right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$

(1) 3

(2) 1/6

(3) 8/45

(4) $\frac{\pi}{2} - 1$