$f(x,y) = \sin xy$ のマクローリン展開を3次の項まで求める。

わかりました。画像にある問題のうち、6番と8番の(1)と9番の(1)を解きます。

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6. 次の関数のマクローリン展開を、$x, y$ について3次の項まで求めよ。

$f(x, y) = \sin xy$**

1. 問題の内容

$f(x,y) = \sin xy$ のマクローリン展開を3次の項まで求める。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、多変数関数のテイラー展開の中心を原点にしたものです。

$\sin x$ のマクローリン展開は、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

であるので、

$\sin (xy) = xy - \frac{(xy)^3}{3!} + \frac{(xy)^5}{5!} - \dots$

となります。

これを3次の項までで打ち切ると、

$\sin (xy) \approx xy - \frac{(xy)^3}{6} = xy - \frac{x^3y^3}{6}$

ここで、問題文より3次の項までを求める必要があるため、$x^3y^3$の項は5次であるため含めません。

3. 最終的な答え

$\sin (xy) \approx xy$

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8. 次の重積分を求めよ。

(1) $\int_1^2 \int_0^2 xy \, dy \, dx$**

1. 問題の内容

2重積分 $\int_1^2 \int_0^2 xy \, dy \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$y$ について積分し、次に $x$ について積分します。

$\int_0^2 xy \, dy = x \int_0^2 y \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = x \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 2x$

次に、$x$ について積分します。

$\int_1^2 2x \, dx = 2 \int_1^2 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = 2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{3}{2} \right) = 3$

3. 最終的な答え

$\int_1^2 \int_0^2 xy \, dy \, dx = 3$

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9. 次の重積分を極座標を利用して求めよ。

(1) $\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dx \, dy$, $D: 1 \le x^2 + y^2 \le 4$**

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dx \, dy$ を領域 $D: 1 \le x^2 + y^2 \le 4$ で計算する。

2. 解き方の手順

極座標変換を行います。$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, $x^2 + y^2 = r^2$, $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$

領域 $D$ は $1 \le r^2 \le 4$ なので、$1 \le r \le 2$ となります。

また、$x,y$に関する条件がないため、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

$\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \frac{1}{r^2} r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \frac{1}{r} \, dr \, d\theta$

$\int_1^2 \frac{1}{r} \, dr = \left[ \ln r \right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$

$\int_0^{2\pi} \ln 2 \, d\theta = \ln 2 \int_0^{2\pi} d\theta = \ln 2 \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = 2\pi \ln 2$

3. 最終的な答え

$\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dx \, dy = 2\pi \ln 2$