与えられた12個の極限を求める問題です。ここでは、(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12) の極限を計算します。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた12個の極限を求める問題です。ここでは、(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12) の極限を計算します。

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方を説明します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

ロピタルの定理を使うか、テイラー展開を利用します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ...$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - ...$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + ...$

したがって、

$e^x - e^{-x} = 2x + O(x^3)$

$\frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \frac{2x + O(x^3)}{x + O(x^3)} \to 2$ as $x \to 0$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$, $(a, b > 0)$

これもロピタルの定理を使うか、指数関数の微分を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(a^x - b^x)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \ln a - b^x \ln b}{1} = \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 - x^2 + x^4)}{\log(1 + x^2 + x^4)}$

$x \to 0$ のとき、$\log(1+u) \approx u$ と近似できるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 - x^2 + x^4)}{\log(1 + x^2 + x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + x^4}{x^2 + x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-1 + x^2}{1 + x^2} = -1$

(4) $\lim_{x \to 1} (\frac{1}{\log x} - \frac{x}{\log x})$

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\log x}$. $x = 1+h$ とおくと、$x \to 1$ のとき、$h \to 0$.

$\lim_{h \to 0} \frac{1 - (1+h)}{\log(1+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{\log(1+h)}$. $\log(1+h) \approx h$ なので、$\lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} = -1$

(5) $\lim_{x \to +0} x \log x$

$x = 1/t$ とおくと、$x \to +0$ のとき、$t \to \infty$。

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log (\frac{1}{t}) = \lim_{t \to \infty} \frac{-\log t}{t} = 0$ （ロピタルの定理を使うか、$\log t$ より $t$ の方が早く発散することを使う）

(6) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan^2 x \log \sin x$

$t = x - \frac{\pi}{2}$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t \to 0$.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan^2 x \log \sin x = \lim_{t \to 0} \tan^2 (t + \frac{\pi}{2}) \log \sin (t + \frac{\pi}{2}) = \lim_{t \to 0} \cot^2 t \log (\cos t) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \log(\cos t)$.

$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + ...$, $\log(\cos t) = \log(1 - \frac{t^2}{2} + ...) \approx - \frac{t^2}{2}$

$\sin t \approx t$

よって、$\lim_{t \to 0} \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \log(\cos t) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} (-\frac{t^2}{2}) = -\frac{1}{2}$

(7) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^p}$, $(p > 0)$

ロピタルの定理を使うと、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^p} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{px^{p-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{px^p} = 0$

(8) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log x}$

ロピタルの定理を使うと、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1/x} = \lim_{x \to \infty} x = \infty$

(9) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} (\tan x)^{\sin 2x}$

$y = (\tan x)^{\sin 2x}$ とおくと、$\log y = \sin 2x \log (\tan x)$.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \sin 2x \log (\tan x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} 2 \sin x \cos x \log (\frac{\sin x}{\cos x})$.

$t = \frac{\pi}{2} - x$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2} - 0$ のとき、$t \to 0$.

$\lim_{t \to 0} 2 \sin (\frac{\pi}{2} - t) \cos (\frac{\pi}{2} - t) \log (\frac{\sin(\frac{\pi}{2} - t)}{\cos (\frac{\pi}{2} - t)}) = \lim_{t \to 0} 2 \cos t \sin t \log (\frac{\cos t}{\sin t}) = \lim_{t \to 0} 2 \cos t \sin t (\log \cos t - \log \sin t) = 2 \cdot 1 \cdot 0 (\log 1 - \log 0) = 0$

よって、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \log y = 0$ なので、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} y = e^0 = 1$

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - \cos x}$

ロピタルの定理を使うと、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{e^x + \sin x} = \frac{1}{1+0} = 1$

(11) $\lim_{x \to 0} (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}}$, $(a, b > 0)$

$y = (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\log y = \frac{1}{x} \log (\frac{a^x + b^x}{2})$.

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log (\frac{a^x + b^x}{2})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a^x \log a + b^x \log b}{\frac{a^x + b^x}{2}}}{1} = \frac{\log a + \log b}{1} = \log (ab)^{1/2}$

よって、$\lim_{x \to 0} \log y = \log \sqrt{ab}$ なので、$\lim_{x \to 0} y = e^{\log \sqrt{ab}} = \sqrt{ab}$

(12) $\lim_{x \to 1} x^{\tan(\frac{\pi}{2} x)}$

$y = x^{\tan(\frac{\pi}{2} x)}$ とおくと、$\log y = \tan(\frac{\pi}{2} x) \log x$.

$x = 1 + h$ とおくと、$x \to 1$ のとき、$h \to 0$.

$\lim_{h \to 0} \tan(\frac{\pi}{2}(1+h)) \log(1+h) = \lim_{h \to 0} \tan(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi h}{2}) \log(1+h) = \lim_{h \to 0} -\cot (\frac{\pi h}{2}) \log(1+h) = \lim_{h \to 0} -\frac{\cos(\frac{\pi h}{2})}{\sin(\frac{\pi h}{2})} \log(1+h)$.

$\lim_{h \to 0} -\frac{1}{\frac{\pi h}{2}} \cdot h = -\frac{2}{\pi}$

よって、$\lim_{x \to 1} \log y = -\frac{2}{\pi}$ なので、$\lim_{x \to 1} y = e^{-\frac{2}{\pi}}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\ln \frac{a}{b}$

(3) -1

(4) -1

(5) 0

(6) $-\frac{1}{2}$

(7) 0

(8) $\infty$

(9) 1

(10) 1

(11) $\sqrt{ab}$

(12) $e^{-\frac{2}{\pi}}$