実数 $a$ は $a \geq 0$ を満たすとする。$xy$ 平面において、不等式 $0 \leq x \leq e-1$ かつ $y(y - \log(x+1) + a) \leq 0$ が表す部分の面積を $S(a)$ とする。 (1) $S(a)$ を求めよ。 (2) $S(a)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a$ は $a \geq 0$ を満たすとする。$xy$ 平面において、不等式 $0 \leq x \leq e-1$ かつ $y(y - \log(x+1) + a) \leq 0$ が表す部分の面積を $S(a)$ とする。

(1) $S(a)$ を求めよ。

(2) $S(a)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $y(y - \log(x+1) + a) \leq 0$ を解くと、 $y \geq 0$ ならば $y - \log(x+1) + a \leq 0$ となり、 $y \leq 0$ ならば $y - \log(x+1) + a \geq 0$ となる。

したがって、$0 \leq y \leq \log(x+1) - a$ となる。

ただし、$\log(x+1) - a \geq 0$ である必要がある。つまり、$a \leq \log(x+1)$ を満たす必要がある。

$x$ の範囲は $0 \leq x \leq e-1$ なので、$\log(x+1)$ の最小値は $x=0$ のとき $0$ となる。したがって、$a \leq 0$ のとき、すべての $x$ に対して $\log(x+1) - a \geq 0$ が成り立つ。しかし、$a \geq 0$ という条件があるので、 $a=0$ の場合にのみこの条件が満たされる。

$a>0$の場合について考える。$\log(x+1) \geq a$ を満たす $x$ の範囲を求める。

$x+1 \geq e^a$ より、$x \geq e^a - 1$。したがって、$e^a-1 \leq x \leq e-1$ において $0 \leq y \leq \log(x+1) - a$。

$S(a)$ はこの範囲での積分である。

$S(a) = \int_{e^a-1}^{e-1} (\log(x+1) - a) dx$

ここで、$I = \int \log(x+1) dx$ を計算する。部分積分を用いると、$I = x\log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx = x\log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x\log(x+1) - x + \log(x+1) = (x+1)\log(x+1) - x$

したがって、$S(a) = [(x+1)\log(x+1) - x - ax]_{e^a-1}^{e-1} = [e\log e - (e-1) - a(e-1)] - [e^a\log e^a - (e^a-1) - a(e^a-1)] = e - (e-1) - a(e-1) - [ae^a - e^a + 1 - a(e^a-1)] = 1 - a(e-1) - ae^a + e^a - 1 + a(e^a-1) = -ae + a - ae^a + e^a + ae^a - a = -ae + e^a = e^a - ae$

$S(a) = e^a - ae$ (for $a > 0$)

$S(a) = \int_0^{e-1} \log(x+1) dx = [(x+1)\log(x+1) - x]_0^{e-1} = [e\log e - (e-1)] - [\log 1 - 0] = e - e + 1 = 1$ (for $a=0$)

(2) $S(a)$ の最小値を求める。

$S'(a) = e^a - e = 0$ より、$e^a = e$, $a = 1$

$S''(a) = e^a > 0$ なので、$a=1$ で極小かつ最小となる。

$S(1) = e^1 - 1\cdot e = 0$

$S(0) = 1$.

3. 最終的な答え

(1)

$S(a) = \begin{cases} 1 & a=0 \\ e^a - ae & a>0 \end{cases}$

(2) $S(a)$ の最小値は $0$ ($a=1$ のとき)