次の重積分を極座標を利用して求めます。 (1) $\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dxdy$, $D: 1 \le x^2 + y^2 \le 4$ (2) $\iint_D \log(x^2 + y^2) \, dxdy$, $D: 4 \le x^2 + y^2 \le 9, x \ge 0, y \ge 0$ (3) $\iint_D y \, dxdy$, $D: x^2 + y^2 \le 1, 0 \le x \le y$
2025/8/6
1. 問題の内容
次の重積分を極座標を利用して求めます。
(1) ,
(2) ,
(3) ,
2. 解き方の手順
(1)
極座標変換 を行います。ヤコビアンは です。
なので、積分領域は より となります。 は全範囲なので です。
よって積分は
(2)
極座標変換 を行います。ヤコビアンは です。
なので、積分領域は より となります。
より、 の範囲は です。
よって積分は
部分積分を行います。, とすると , なので
したがって
(3)
極座標変換 を行います。ヤコビアンは です。
積分領域は より となります。
より なので となります。
で となるのは のときなので、 の範囲は です。
よって積分は
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3)