次の重積分を極座標を利用して求めます。 (1) $\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dxdy$, $D: 1 \le x^2 + y^2 \le 4$ (2) $\iint_D \log(x^2 + y^2) \, dxdy$, $D: 4 \le x^2 + y^2 \le 9, x \ge 0, y \ge 0$ (3) $\iint_D y \, dxdy$, $D: x^2 + y^2 \le 1, 0 \le x \le y$

解析学重積分極座標ヤコビアン
2025/8/6

1. 問題の内容

次の重積分を極座標を利用して求めます。
(1) D1x2+y2dxdy\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dxdy, D:1x2+y24D: 1 \le x^2 + y^2 \le 4
(2) Dlog(x2+y2)dxdy\iint_D \log(x^2 + y^2) \, dxdy, D:4x2+y29,x0,y0D: 4 \le x^2 + y^2 \le 9, x \ge 0, y \ge 0
(3) Dydxdy\iint_D y \, dxdy, D:x2+y21,0xyD: x^2 + y^2 \le 1, 0 \le x \le y

2. 解き方の手順

(1)
極座標変換 x=rcosθ,y=rsinθx = r\cos\theta, y = r\sin\theta を行います。ヤコビアンは rr です。
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 なので、積分領域は 1r241 \le r^2 \le 4 より 1r21 \le r \le 2 となります。θ\theta は全範囲なので 0θ2π0 \le \theta \le 2\pi です。
よって積分は
D1x2+y2dxdy=02π121r2rdrdθ=02π121rdrdθ \iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \frac{1}{r^2} r \, dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \frac{1}{r} \, dr d\theta
=02π[logr]12dθ=02π(log2log1)dθ=log202πdθ=2πlog2 = \int_0^{2\pi} [\log r]_1^2 \, d\theta = \int_0^{2\pi} (\log 2 - \log 1) \, d\theta = \log 2 \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \log 2
(2)
極座標変換 x=rcosθ,y=rsinθx = r\cos\theta, y = r\sin\theta を行います。ヤコビアンは rr です。
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 なので、積分領域は 4r294 \le r^2 \le 9 より 2r32 \le r \le 3 となります。
x0,y0x \ge 0, y \ge 0 より、θ\theta の範囲は 0θπ20 \le \theta \le \frac{\pi}{2} です。
よって積分は
Dlog(x2+y2)dxdy=0π/223log(r2)rdrdθ=0π/2232log(r)rdrdθ \iint_D \log(x^2 + y^2) \, dxdy = \int_0^{\pi/2} \int_2^3 \log(r^2) r \, dr d\theta = \int_0^{\pi/2} \int_2^3 2\log(r) r \, dr d\theta
部分積分を行います。u=logru = \log r, dv=2rdrdv = 2r dr とすると du=1rdrdu = \frac{1}{r} dr, v=r2v = r^2 なので
2rlogrdr=r2logrr21rdr=r2logrrdr=r2logrr22 \int 2r \log r \, dr = r^2 \log r - \int r^2 \frac{1}{r} dr = r^2 \log r - \int r dr = r^2 \log r - \frac{r^2}{2}
したがって
232rlogrdr=[r2logrr22]23=(9log392)(4log242)=9log34log252 \int_2^3 2r \log r \, dr = [r^2 \log r - \frac{r^2}{2}]_2^3 = (9 \log 3 - \frac{9}{2}) - (4 \log 2 - \frac{4}{2}) = 9 \log 3 - 4 \log 2 - \frac{5}{2}
Dlog(x2+y2)dxdy=0π/2(9log34log252)dθ=π2(9log34log252) \iint_D \log(x^2 + y^2) \, dxdy = \int_0^{\pi/2} (9 \log 3 - 4 \log 2 - \frac{5}{2}) \, d\theta = \frac{\pi}{2} (9 \log 3 - 4 \log 2 - \frac{5}{2})
(3)
極座標変換 x=rcosθ,y=rsinθx = r\cos\theta, y = r\sin\theta を行います。ヤコビアンは rr です。
積分領域は x2+y21x^2 + y^2 \le 1 より r1r \le 1 となります。
0xy0 \le x \le y より 0rcosθrsinθ0 \le r\cos\theta \le r\sin\theta なので 0cosθsinθ0 \le \cos\theta \le \sin\theta となります。
0θπ20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}cosθ=sinθ\cos\theta = \sin\theta となるのは θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} のときなので、θ\theta の範囲は π4θπ2\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{2} です。
よって積分は
Dydxdy=π/4π/201rsinθrdrdθ=π/4π/201r2sinθdrdθ \iint_D y \, dxdy = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_0^1 r\sin\theta \cdot r \, dr d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_0^1 r^2 \sin\theta \, dr d\theta
=π/4π/2sinθ[r33]01dθ=13π/4π/2sinθdθ=13[cosθ]π/4π/2=13(cos(π/2)+cos(π/4)) = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin\theta [\frac{r^3}{3}]_0^1 \, d\theta = \frac{1}{3} \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin\theta \, d\theta = \frac{1}{3} [-\cos\theta]_{\pi/4}^{\pi/2} = \frac{1}{3} (-\cos(\pi/2) + \cos(\pi/4))
=13(0+22)=26 = \frac{1}{3} (0 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{6}

3. 最終的な答え

(1) 2πlog22\pi \log 2
(2) π2(9log34log252)\frac{\pi}{2} (9 \log 3 - 4 \log 2 - \frac{5}{2})
(3) 26\frac{\sqrt{2}}{6}

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