重積分を用いて以下の体積を求める問題です。 (1) $z = 0$, $z = 6 - 2y$, $x^2 + y^2 = 9$ で囲まれる部分の体積 (2) $y^2 + z^2 \le 1$, $x^2 + z^2 \le 1$ の共通部分の体積 (3) $0 \le z \le x^2 + y^2$, $x^2 + y^2 \le 2$ によって表される部分の体積

1. 問題の内容

重積分を用いて以下の体積を求める問題です。

(1) $z = 0$, $z = 6 - 2y$, $x^2 + y^2 = 9$ で囲まれる部分の体積

(2) $y^2 + z^2 \le 1$, $x^2 + z^2 \le 1$ の共通部分の体積

(3) $0 \le z \le x^2 + y^2$, $x^2 + y^2 \le 2$ によって表される部分の体積

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 + y^2 = 9$ は半径 3 の円を表します。$z = 0$ は xy 平面です。$z = 6 - 2y$ は平面です。

体積は重積分で計算できます。積分範囲は $x^2 + y^2 \le 9$ であり、積分する関数は $6 - 2y$ です。極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$r^2 \le 9$ より $0 \le r \le 3$、$0 \le \theta \le 2\pi$ となります。ヤコビアンは $r$ です。

$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} (6 - 2r\sin\theta)r \, dr \, d\theta$

$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} (6r - 2r^2\sin\theta) \, dr \, d\theta$

$V = \int_{0}^{2\pi} [3r^2 - \frac{2}{3}r^3\sin\theta]_{0}^{3} \, d\theta$

$V = \int_{0}^{2\pi} (27 - 18\sin\theta) \, d\theta$

$V = [27\theta + 18\cos\theta]_{0}^{2\pi}$

$V = (54\pi + 18) - (0 + 18) = 54\pi$

(2)

$y^2 + z^2 \le 1$ は x 軸方向の無限に伸びた半径 1 の円柱、$x^2 + z^2 \le 1$ は y 軸方向の無限に伸びた半径 1 の円柱です。

共通部分の体積は、まず $z$ 軸に垂直な断面を考えます。断面は２つの円の共通部分であり、その面積は $4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx - 4(\frac{1}{2}) = \pi - 2 \times$ (2 times the area of a square formed with vertices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) which is just the square) となります。 $0 \le x \le \sqrt{1-z^2}$, $-\sqrt{1-z^2} \le y \le \sqrt{1-z^2}$ と表せます。

共通部分の体積は、

$V = 8\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \sqrt{1-z^2} dx dz = \frac{16}{3}$

これは間違っている可能性があります。

正しい解法は、最初に$z$で積分し、次に$x$または$y$で積分します。

$V = 8 \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \sqrt{1-x^2} dy dx = 8 \int_0^1 (1-x^2) dx = 8 [x - \frac{x^3}{3}]_0^1 = 8 (1 - \frac{1}{3}) = \frac{16}{3}$

(3)

$0 \le z \le x^2 + y^2$ で $x^2 + y^2 \le 2$ の部分の体積を求めます。

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$r^2 \le 2$ より $0 \le r \le \sqrt{2}$、$0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 \, dr \, d\theta$

$V = \int_{0}^{2\pi} [\frac{1}{4}r^4]_{0}^{\sqrt{2}} \, d\theta$

$V = \int_{0}^{2\pi} 1 \, d\theta$

$V = [\theta]_{0}^{2\pi} = 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $54\pi$

(2) $\frac{16}{3}$

(3) $2\pi$