関数 $z = \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2}$ の極値が存在すれば求めよ。

1. 問題の内容

関数 $z = \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2}$ の極値が存在すれば求めよ。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算します。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = x$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -y$

次に、極値の候補となる点を求めるために、$z_x = 0$ かつ $z_y = 0$ を満たす $(x, y)$ を探します。

$x = 0$

$-y = 0$

よって、$x = 0$、$y = 0$ です。つまり、$(0, 0)$ が極値の候補となる点です。

次に、ヘッセ行列を計算します。

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 1$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -1$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$

$z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 0$

ヘッセ行列は次のようになります。

$H = \begin{pmatrix} z_{xx} & z_{xy} \\ z_{yx} & z_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

ヘッセ行列の行列式を計算します。

$D = \det(H) = z_{xx} z_{yy} - z_{xy}^2 = (1)(-1) - (0)^2 = -1$

$D < 0$ であるため、点 $(0, 0)$ は鞍点です。したがって、極値は存在しません。

3. 最終的な答え

極値は存在しない。