与えられた曲線が$x$軸の周りを1回転してできる回転面の面積を求めます。 (1) $y = \cos x$, ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) (2) $y = \log x$, ($1 \le x \le e$)

1. 問題の内容

与えられた曲線が$x$軸の周りを1回転してできる回転面の面積を求めます。

(1) $y = \cos x$, ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$)

(2) $y = \log x$, ($1 \le x \le e$)

2. 解き方の手順

回転面の面積$S$は、曲線$y = f(x)$ ($a \le x \le b$)を$x$軸の周りに回転させたときに、次の式で計算できます。

$S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

(1) $y = \cos x$の場合、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$です。

$\frac{dy}{dx} = -\sin x$なので、

$S = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sqrt{1 + (-\sin x)^2} dx = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sqrt{1 + \sin^2 x} dx$

ここで、$u = \sin x$と置換すると、$du = \cos x dx$です。$x = 0$のとき$u = 0$、$x = \frac{\pi}{2}$のとき$u = 1$なので、

$S = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{1 + u^2} du$

さらに、$u = \sinh t$と置換すると、$du = \cosh t dt$です。$u = 0$のとき$t = 0$、$u = 1$のとき$t = \sinh^{-1}(1)$です。$\sinh^{-1}(1) = \log(1+\sqrt{2})$

$S = 2\pi \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \sqrt{1 + \sinh^2 t} \cosh t dt = 2\pi \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \cosh^2 t dt$

$\cosh^2 t = \frac{1 + \cosh(2t)}{2}$なので、

$S = 2\pi \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} \frac{1 + \cosh(2t)}{2} dt = \pi \int_{0}^{\sinh^{-1}(1)} (1 + \cosh(2t)) dt = \pi [t + \frac{1}{2}\sinh(2t)]_{0}^{\sinh^{-1}(1)}$

$\sinh(2t) = 2\sinh t \cosh t$なので、$S = \pi [t + \sinh t \cosh t]_{0}^{\sinh^{-1}(1)}$

$u = \sinh t = 1$なので、$\cosh t = \sqrt{1 + \sinh^2 t} = \sqrt{2}$

$S = \pi [\sinh^{-1}(1) + 1 \cdot \sqrt{2} - 0] = \pi (\log(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2})$

(2) $y = \log x$の場合、$1 \le x \le e$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$なので、

$S = 2\pi \int_{1}^{e} \log x \sqrt{1 + (\frac{1}{x})^2} dx = 2\pi \int_{1}^{e} \log x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} dx = 2\pi \int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} \sqrt{x^2 + 1} dx$

3. 最終的な答え

(1) $\pi(\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2}))$

(2) $2\pi \int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} \sqrt{x^2 + 1} dx$

（積分を実行するのは困難なので、ここまで）