関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$ が $x = 3$ で極小値 $-26$ をとるように定数 $a, b$ の値を定め、極大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$ が $x = 3$ で極小値 $-26$ をとるように定数 $a, b$ の値を定め、極大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=3$ で極小値 $-26$ をとるので、$f(3) = -26$ と $f'(3) = 0$ が成り立つ。

まず、$f(3)$ を計算する。

$f(3) = 3^3 - 3(3^2) + 3a + b = 27 - 27 + 3a + b = 3a + b$

よって、

$3a + b = -26$ ...(1)

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + a$

$f'(3) = 3(3^2) - 6(3) + a = 27 - 18 + a = 9 + a$

よって、

$9 + a = 0$

$a = -9$

(2) $a = -9$ を (1) に代入する。

$3(-9) + b = -26$

$-27 + b = -26$

$b = -26 + 27 = 1$

したがって、$a = -9, b = 1$ である。

(3) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ となるので、$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ を計算する。

$f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 3, -1$ である。

増減表を書くと、

x | ... | -1 | ... | 3 | ...

---|---|----|---|---|---

f'(x) | + | 0 | - | 0 | +

---|---|----|---|---|---

f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑

$x = -1$ で極大値をとる。

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6$

したがって、極大値は 6 である。

3. 最終的な答え

$a = -9, b = 1$

極大値: $6$