以下の重積分について、(1)積分範囲を図示し、(2)積分の順序を変更し、(3) $f(x, y) = x^2 + y$ のときの積分値を求めます。 $\int_{0}^{1} \left( \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x, y) dx \right) dy$

## 問題4

1. **問題の内容**

以下の重積分について、(1)積分範囲を図示し、(2)積分の順序を変更し、(3) $f(x, y) = x^2 + y$ のときの積分値を求めます。

$\int_{0}^{1} \left( \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x, y) dx \right) dy$

2. **解き方の手順**

(1) 積分範囲の図示

積分範囲は $0 \le y \le 1$ かつ $y \le x \le \sqrt{y}$ です。

$x = y$ と $x = \sqrt{y}$ から $y = x^2$ と $y = x$ を得ます。

したがって、$x^2 \le x$ という関係になります。また、$0 \le x \le 1$です。

この範囲を図示すると、$y = x$ と $y = x^2$ で囲まれた領域で、$0 \le x \le 1$ になります。

(2) 積分の順序の変更

積分の順序を変更すると、積分範囲は $0 \le x \le 1$ かつ $x^2 \le y \le x$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{x} f(x, y) dy \right) dx$

(3) $f(x, y) = x^2 + y$ のときの積分

積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{x} (x^2 + y) dy \right) dx = \int_{0}^{1} \left[ x^2y + \frac{1}{2}y^2 \right]_{x^2}^{x} dx$

$=\int_{0}^{1} \left[ x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x^4 - \frac{1}{2}x^4 \right] dx = \int_{0}^{1} \left[ x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x^4 \right] dx$

$=\left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{10}x^5 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{3}{10} = \frac{15 + 10 - 18}{60} = \frac{7}{60}$

3. **最終的な答え**

(1) 積分範囲： $y = x$ と $y = x^2$ で囲まれた領域で、$0 \le x \le 1$。

(2) 積分の順序を変更した積分式： $\int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{x} f(x, y) dy \right) dx$

(3) $f(x, y) = x^2 + y$ のときの積分値： $\frac{7}{60}$