関数 $f(x, y) = 2x^2 - 4xy + y^2 - 4x + 4y + 2$ の停留点 $P$ の座標を求め、その点 $P$ でのヘッセ行列の符号を調べ、$P$ が極大点、極小点、または極点ではないかを判定する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 2x^2 - 4xy + y^2 - 4x + 4y + 2$ の停留点 $P$ の座標を求め、その点 $P$ でのヘッセ行列の符号を調べ、$P$ が極大点、極小点、または極点ではないかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、停留点を求めるために、偏微分を計算し、それらが両方とも0になる点を求めます。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 4y - 4$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -4x + 2y + 4$

次に、連立方程式を解きます。

$4x - 4y - 4 = 0$

$-4x + 2y + 4 = 0$

第1式から $x - y - 1 = 0$、つまり $x = y + 1$ が得られます。

第2式に代入すると $-4(y+1) + 2y + 4 = 0$、つまり $-4y - 4 + 2y + 4 = 0$、したがって $-2y = 0$ であり、$y = 0$ となります。

$x = y + 1$ に $y = 0$ を代入すると、$x = 1$ となります。

したがって、停留点 $P$ の座標は $(1, 0)$ です。

次に、ヘッセ行列を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 4$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -4$

ヘッセ行列は以下のようになります。

$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$

ヘッセ行列式 $D$ は

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 4 \cdot 2 - (-4)^2 = 8 - 16 = -8$

ヘッセ行列式 $D$ が負であるため、$P(1, 0)$ は鞍点であり、極値ではありません。

3. 最終的な答え

停留点 P の座標は $(1, 0)$ であり、点 P でのヘッセ行列 H(P) の符号は負であり、点 P は極点ではない。