関数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y^2$ が与えられたとき、$\nabla f(x, y)$、$\nabla f(1, 2)$ を求め、曲線 $f(x, y) = C$ の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求める問題です。ただし、$f(1, 2) = 17$ となることが分かっています。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y^2$ が与えられたとき、$\nabla f(x, y)$、$\nabla f(1, 2)$ を求め、曲線 $f(x, y) = C$ の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求める問題です。ただし、$f(1, 2) = 17$ となることが分かっています。

2. 解き方の手順

まず、$\nabla f(x, y)$ を計算します。これは、$f(x, y)$ の各変数に関する偏微分を成分とするベクトルです。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -6xy + 4y$

したがって、

$\nabla f(x, y) = \left( 3x^2 - 3y^2, -6xy + 4y \right)$

次に、$\nabla f(1, 2)$ を計算します。

$\nabla f(1, 2) = \left( 3(1)^2 - 3(2)^2, -6(1)(2) + 4(2) \right) = (3 - 12, -12 + 8) = (-9, -4)$

曲線 $f(x, y) = C$ の点 $(1, 2)$ における接線の方程式は、$\nabla f(1, 2) \cdot (x - 1, y - 2) = 0$ で与えられます。

$\nabla f(1, 2) = (-9, -4)$ なので、

$(-9, -4) \cdot (x - 1, y - 2) = 0$

$-9(x - 1) - 4(y - 2) = 0$

$-9x + 9 - 4y + 8 = 0$

$-9x - 4y + 17 = 0$

$9x + 4y = 17$

3. 最終的な答え

$\nabla f(x, y) = (3x^2 - 3y^2, -6xy + 4y)$

$\nabla f(1, 2) = (-9, -4)$

接線の方程式は $9x + 4y = 17$