与えられた定積分を計算します。積分は2つの部分に分かれています。 $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{e}}} -x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx + \int_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は2つの部分に分かれています。

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{e}}} -x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx + \int_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{e}}} -x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx + \int_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{e}}} -x^2 \log x - \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} x^2 \log x + \frac{1}{2}x^2 dx$

$= \int_{0}^{1} x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx - 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{e}}} x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx$

部分積分を使って $\int x^2 \log x dx$ を計算します。

$u = \log x, dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x}dx, v = \frac{x^3}{3}$ となります。

$\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^2}{3} dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

よって、$\int x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + \frac{x^3}{6} + C = \frac{x^3}{3} \log x + \frac{x^3}{18} + C$

$\int_{0}^{1} x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx = \lim_{a \to 0} [\frac{x^3}{3} \log x + \frac{x^3}{18}]_{a}^{1} = [\frac{1}{3} \log 1 + \frac{1}{18}] - \lim_{a \to 0} [\frac{a^3}{3} \log a + \frac{a^3}{18}] = \frac{1}{18} - 0 = \frac{1}{18}$

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{e}}} x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx = [\frac{x^3}{3} \log x + \frac{x^3}{18}]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{e}}} = [\frac{1}{3e\sqrt{e}} \log \frac{1}{\sqrt{e}} + \frac{1}{18e\sqrt{e}}] - 0 = \frac{1}{3e\sqrt{e}} (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{18e\sqrt{e}} = -\frac{1}{6e\sqrt{e}} + \frac{1}{18e\sqrt{e}} = -\frac{3}{18e\sqrt{e}} + \frac{1}{18e\sqrt{e}} = -\frac{2}{18e\sqrt{e}} = -\frac{1}{9e\sqrt{e}}$

元の積分は、

$\int_{0}^{1} x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx - 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{e}}} x^2 (\log x + \frac{1}{2}) dx = \frac{1}{18} - 2(-\frac{1}{9e\sqrt{e}}) = \frac{1}{18} + \frac{2}{9e\sqrt{e}} = \frac{1}{18} + \frac{2}{9 e^{3/2}} = \frac{1}{18} + \frac{4}{18 e^{3/2}} = \frac{1+4e^{-3/2}}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{1+4e^{-3/2}}{18}$