与えられた二重積分の積分順序を交換する問題です。積分は次の通りです。 $\int_{-1}^{2} dy \int_{y^2}^{y+2} f(x, y) dx$

1. 問題の内容

与えられた二重積分の積分順序を交換する問題です。積分は次の通りです。

$\int_{-1}^{2} dy \int_{y^2}^{y+2} f(x, y) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を決定します。現在の積分範囲は、

$-1 \le y \le 2$

$y^2 \le x \le y+2$

この積分範囲を図示します。$x = y^2$ は放物線を表し、$x = y+2$ は直線を表します。これらの交点を求めます。

$y^2 = y+2$

$y^2 - y - 2 = 0$

$(y-2)(y+1) = 0$

よって、$y = 2$ または $y = -1$。これらのyの値に対応するxの値は、それぞれ $x=4$ と $x=1$です。

したがって、積分範囲を図示すると、xに関する積分範囲は、$x$を固定したときに、$y$ がどの範囲で動くかによって決まります。

$x$の最小値は$x=0$ ($y=0$)と$x=1$ ($y=-1$)を結ぶ$y = -\sqrt{x}$で$x=1$です。

$x$の最大値は$x=4$ ($y=2$)です。

したがって、$1 \le x \le 4$となります。

次に、$x$を固定したときの$y$の範囲を求めます。

$x = y^2$ より $y = \pm \sqrt{x}$。ただし、現在の積分範囲では $y \ge -1$ なので、$y = -\sqrt{x}$は、$y \ge -1$を満たす範囲で考慮します。

$x = y + 2$ より $y = x - 2$

したがって、$x$を固定したとき、$y$の最小値は$y = x-2$であり、最大値は$y = \sqrt{x}$です。ただし、$1 \le x \le 4$です。

したがって、積分順序を交換した後の積分は以下のようになります。

$\int_{1}^{4} dx \int_{x-2}^{\sqrt{x}} f(x, y) dy$

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{4} dx \int_{x-2}^{\sqrt{x}} f(x, y) dy$