(2) $y = c_1e^{6x} + c_2xe^{6x}$ (3) $y = e^{2x}(c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x))$ (4) $y = e^{\frac{1}{2}x}(c_1 \cos(\frac{\sqrt{47}}{2}x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{47}}{2}x))$

## 微分方程式の問題

この問題は、常微分方程式の一般解や初期値問題を解くものです。具体的には、2階線形同次微分方程式、2階線形非同次微分方程式、および連立微分方程式が含まれています。

## 解き方の手順

それぞれの問題について、以下のように解いていきます。

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1. 一般解を求める (1)

(1) $y'' + 2y' + 5y = 0$

特性方程式は、$r^2 + 2r + 5 = 0$ となります。

解の公式より、$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i$

したがって、一般解は $y = e^{-x}(c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x))$ となります。

(2) $y'' - 12y' + 36y = 0$

特性方程式は、$r^2 - 12r + 36 = 0$ となります。

$(r - 6)^2 = 0$ より、$r = 6$ (重根)

したがって、一般解は $y = c_1e^{6x} + c_2xe^{6x}$ となります。

(3) $y'' - 4y' + 5y = 0$

特性方程式は、$r^2 - 4r + 5 = 0$ となります。

解の公式より、$r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = 2 \pm i$

したがって、一般解は $y = e^{2x}(c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x))$ となります。

(4) $y'' - y' + 12y = 0$

特性方程式は、$r^2 - r + 12 = 0$ となります。

解の公式より、$r = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4\cdot1\cdot12}}{2\cdot1} = \frac{1 \pm \sqrt{-47}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{47}}{2}i$

したがって、一般解は $y = e^{\frac{1}{2}x}(c_1 \cos(\frac{\sqrt{47}}{2}x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{47}}{2}x))$ となります。

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2. 初期値問題を解く

(1) $y'' - 2y' + 2y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 3$

特性方程式は、$r^2 - 2r + 2 = 0$

解の公式より、$r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$

一般解は、$y = e^x(c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x))$

$y' = e^x(c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)) + e^x(-c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x)) = e^x((c_1+c_2)\cos(x) + (c_2-c_1)\sin(x))$

$y(0) = e^0(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 = 1$

$y'(0) = e^0((c_1+c_2)\cos(0) + (c_2-c_1)\sin(0)) = c_1 + c_2 = 3$

$c_1 = 1$ より、$1 + c_2 = 3$, よって $c_2 = 2$

したがって、解は $y = e^x(\cos(x) + 2\sin(x))$ となります。

(2) $y'' - 4y' + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = -1$

特性方程式は、$r^2 - 4r + 4 = 0$

$(r - 2)^2 = 0$ より、$r = 2$ (重根)

一般解は、$y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$

$y' = 2c_1e^{2x} + c_2e^{2x} + 2c_2xe^{2x} = (2c_1 + c_2)e^{2x} + 2c_2xe^{2x}$

$y(0) = c_1e^0 + c_2\cdot0\cdot e^0 = c_1 = 1$

$y'(0) = (2c_1 + c_2)e^0 + 2c_2\cdot0\cdot e^0 = 2c_1 + c_2 = -1$

$c_1 = 1$ より、$2 + c_2 = -1$, よって $c_2 = -3$

したがって、解は $y = e^{2x} - 3xe^{2x}$ となります。

(3) $y'' + y = 1$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 0$

同次方程式 $y'' + y = 0$ の特性方程式は、$r^2 + 1 = 0$

$r = \pm i$

同次方程式の一般解は、$y_h = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)$

特殊解を $y_p = A$ と仮定すると、$y_p'' + y_p = 0 + A = 1$ より $A = 1$

したがって、$y_p = 1$

一般解は、$y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) + 1$

$y' = -c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x)$

$y(0) = c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0) + 1 = c_1 + 1 = 0$, よって $c_1 = -1$

$y'(0) = -c_1 \sin(0) + c_2 \cos(0) = c_2 = 0$

したがって、解は $y = -\cos(x) + 1$ となります。

(4) $2y'' - y' + y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 7$

特性方程式は、$2r^2 - r + 1 = 0$

解の公式より、$r = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4\cdot2\cdot1}}{2\cdot2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{7}}{4}i$

一般解は、$y = e^{\frac{1}{4}x}(c_1 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$

$y' = \frac{1}{4}e^{\frac{1}{4}x}(c_1 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x)) + e^{\frac{1}{4}x}(-\frac{\sqrt{7}}{4}c_1 \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x) + \frac{\sqrt{7}}{4}c_2 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$

$y(0) = e^0(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 = 0$

$y'(0) = \frac{1}{4}e^0(c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) + e^0(-\frac{\sqrt{7}}{4}c_1 \sin(0) + \frac{\sqrt{7}}{4}c_2 \cos(0)) = \frac{1}{4}c_1 + \frac{\sqrt{7}}{4}c_2 = \frac{\sqrt{7}}{4}c_2 = 7$

$c_1 = 0$ より、$\frac{\sqrt{7}}{4}c_2 = 7$, よって $c_2 = \frac{28}{\sqrt{7}} = 4\sqrt{7}$

したがって、解は $y = e^{\frac{1}{4}x}(4\sqrt{7} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$ となります。

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3. 一般解を求める (2)

$\frac{d^2y}{dx^2} + \alpha y = \beta$

同次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + \alpha y = 0$ の特性方程式は $r^2 + \alpha = 0$

(i) $\alpha > 0$ のとき、$r = \pm i\sqrt{\alpha}$ より、同次方程式の解は $y_h = c_1 \cos(\sqrt{\alpha}x) + c_2 \sin(\sqrt{\alpha}x)$

特殊解を $y_p = A$ と仮定すると、$y_p'' + \alpha y_p = 0 + \alpha A = \beta$ より $A = \frac{\beta}{\alpha}$

したがって、一般解は $y = c_1 \cos(\sqrt{\alpha}x) + c_2 \sin(\sqrt{\alpha}x) + \frac{\beta}{\alpha}$ となります。

(ii) $\alpha = 0$ のとき、$\frac{d^2y}{dx^2} = \beta$ より、$y' = \beta x + c_1$, $y = \frac{1}{2}\beta x^2 + c_1x + c_2$ となります。

(iii) $\alpha < 0$ のとき、$r = \pm \sqrt{-\alpha}$ より、同次方程式の解は $y_h = c_1 e^{\sqrt{-\alpha}x} + c_2 e^{-\sqrt{-\alpha}x}$

特殊解を $y_p = A$ と仮定すると、$y_p'' + \alpha y_p = 0 + \alpha A = \beta$ より $A = \frac{\beta}{\alpha}$

したがって、一般解は $y = c_1 e^{\sqrt{-\alpha}x} + c_2 e^{-\sqrt{-\alpha}x} + \frac{\beta}{\alpha}$ となります。

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4. 連立微分方程式を解く

(2) $\begin{cases} \frac{dx}{dt} = y \\ \frac{dy}{dt} = -8x - 6y \\ x(0) = 1, y(0) = 0 \end{cases}$

1つ目の式より、$y = \frac{dx}{dt}$

これを2つ目の式に代入すると、$\frac{d^2x}{dt^2} = -8x - 6\frac{dx}{dt}$

$\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 8x = 0$

特性方程式は、$r^2 + 6r + 8 = 0$

$(r + 2)(r + 4) = 0$ より、$r = -2, -4$

したがって、$x = c_1e^{-2t} + c_2e^{-4t}$

$y = \frac{dx}{dt} = -2c_1e^{-2t} - 4c_2e^{-4t}$

$x(0) = c_1 + c_2 = 1$

$y(0) = -2c_1 - 4c_2 = 0$

$c_1 + c_2 = 1$ より、$c_1 = 1 - c_2$

$-2(1 - c_2) - 4c_2 = -2 + 2c_2 - 4c_2 = -2 - 2c_2 = 0$ より、$c_2 = -1$

$c_1 = 1 - (-1) = 2$

したがって、$x = 2e^{-2t} - e^{-4t}$, $y = -4e^{-2t} + 4e^{-4t}$ となります。

## 最終的な答え

以下に、各問題の解答をまとめます。

1. (1) $y = e^{-x}(c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x))$

(2) $y = c_1e^{6x} + c_2xe^{6x}$

(3) $y = e^{2x}(c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x))$

(4) $y = e^{\frac{1}{2}x}(c_1 \cos(\frac{\sqrt{47}}{2}x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{47}}{2}x))$

2. (1) $y = e^x(\cos(x) + 2\sin(x))$

(2) $y = e^{2x} - 3xe^{2x}$

(3) $y = -\cos(x) + 1$

(4) $y = e^{\frac{1}{4}x}(4\sqrt{7} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$

3. (i) $\alpha > 0$: $y = c_1 \cos(\sqrt{\alpha}x) + c_2 \sin(\sqrt{\alpha}x) + \frac{\beta}{\alpha}$

(ii) $\alpha = 0$: $y = \frac{1}{2}\beta x^2 + c_1x + c_2$

(iii) $\alpha < 0$: $y = c_1 e^{\sqrt{-\alpha}x} + c_2 e^{-\sqrt{-\alpha}x} + \frac{\beta}{\alpha}$

4. (2) $x = 2e^{-2t} - e^{-4t}$, $y = -4e^{-2t} + 4e^{-4t}$