(1) 曲線 $y = e^{x^2}$ と直線 $y = 2$, $y$軸で囲まれた部分を $y$軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題。$V = \pi ( \fbox{1} \log \fbox{2} - \fbox{3} )$ の $\fbox{1}, \fbox{2}, \fbox{3}$ に当てはまる数を答える。 (2) 曲線 $C: \begin{cases} x = \cos^2 t \\ y = \sin^2 t \end{cases} (0 \le t \le \frac{\pi}{2})$ の長さ $L$ を求める問題。$L = \sqrt{\fbox{4}}$ の $\fbox{4}$ に当てはまる数を答える。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = e^{x^2}$ と直線 $y = 2$, $y$軸で囲まれた部分を $y$軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題。$V = \pi ( \fbox{1} \log \fbox{2} - \fbox{3} )$ の $\fbox{1}, \fbox{2}, \fbox{3}$ に当てはまる数を答える。

(2) 曲線 $C: \begin{cases} x = \cos^2 t \\ y = \sin^2 t \end{cases} (0 \le t \le \frac{\pi}{2})$ の長さ $L$ を求める問題。$L = \sqrt{\fbox{4}}$ の $\fbox{4}$ に当てはまる数を答える。

2. 解き方の手順

(1)

$y = e^{x^2}$ より $x^2 = \log y$ であるから、$x = \sqrt{\log y}$ となる。

$y$軸の周りに回転させた回転体の体積は

$V = \pi \int_1^2 x^2 dy = \pi \int_1^2 \log y dy$

部分積分を行う。

$\int \log y dy = y \log y - \int y \cdot \frac{1}{y} dy = y \log y - \int 1 dy = y \log y - y + C$

したがって、

$V = \pi [y \log y - y]_1^2 = \pi (2 \log 2 - 2 - (1 \log 1 - 1)) = \pi (2 \log 2 - 2 - (0 - 1)) = \pi (2 \log 2 - 1)$

よって、$\fbox{1} = 2$, $\fbox{2} = 2$, $\fbox{3} = 1$

(2)

$x = \cos^2 t, y = \sin^2 t$ より

$\frac{dx}{dt} = -2 \cos t \sin t = - \sin 2t$

$\frac{dy}{dt} = 2 \sin t \cos t = \sin 2t$

したがって、

$L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(-\sin 2t)^2 + (\sin 2t)^2} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2 \sin^2 2t} dt$

$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} |\sin 2t| dt = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t dt$ ($\sin 2t \ge 0$ in $[0, \frac{\pi}{2}]$)

$= \sqrt{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos 2t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{2} \cos \pi - (-\frac{1}{2} \cos 0) \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{2} (-1) + \frac{1}{2} (1) \right) = \sqrt{2} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \sqrt{2}$

$L = \sqrt{2} = \sqrt{\fbox{4}}$ より $\fbox{4} = 2$

3. 最終的な答え

(1)

$\fbox{1} = 2$, $\fbox{2} = 2$, $\fbox{3} = 1$

(2)

$\fbox{4} = 2$