(1) 関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} (2x-t) \cos t \, dt$ を微分した $F'(x)$ を求め、空欄を埋める。 (2) 等式 $\int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = e^x - 3$ を満たす定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} (2x-t) \cos t \, dt$ を微分した $F'(x)$ を求め、空欄を埋める。

(2) 等式 $\int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = e^x - 3$ を満たす定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$F(x)$ を変形します。

$F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} (2x-t) \cos t \, dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} 2x \cos t \, dt - \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t \cos t \, dt$

$F(x) = 2x \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} \cos t \, dt - \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t \cos t \, dt$

$F(x) = 2x [\sin t]_{\frac{\pi}{6}}^{x} - \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t \cos t \, dt$

$F(x) = 2x (\sin x - \sin \frac{\pi}{6}) - \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t \cos t \, dt$

$F(x) = 2x (\sin x - \frac{1}{2}) - \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t \cos t \, dt$

$F(x) = 2x \sin x - x - \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t \cos t \, dt$

次に、$F'(x)$ を計算します。積の微分法と微積分学の基本定理を用います。

$F'(x) = \frac{d}{dx} (2x \sin x - x) - \frac{d}{dx} \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t \cos t \, dt$

$F'(x) = 2 \sin x + 2x \cos x - 1 - x \cos x$

$F'(x) = 2 \sin x + x \cos x - 1$

したがって、1 は 2, 2 は

1.

(2)

$\int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = e^x - 3$ の両辺を $x$ で微分すると、微積分学の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = \frac{d}{dx} (e^x - 3)$

$x^2 f(x) = e^x$

したがって、$f(x) = \frac{e^x}{x^2}$

$\int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = e^x - 3$ に $x = a$ を代入すると、

$\int_{a}^{a} t^2 f(t) \, dt = e^a - 3$

$0 = e^a - 3$

$e^a = 3$

$a = \log 3$

3. 最終的な答え

(1) 1: 2, 2: 1

(2) 5: $\log 3$