$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = 2\sin^2 x - \sin x \cos x + 3\cos^2 x$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = 2\sin^2 x - \sin x \cos x + 3\cos^2 x$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$の式を三角関数の公式を使って変形する。

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を利用すると、

$y = 2\sin^2 x - \sin x \cos x + 3\cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x + \cos^2 x - \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos^2 x - \sin x \cos x = 2 + \cos^2 x - \sin x \cos x$

次に、2倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いて、$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ となる。

また、$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ である。

したがって、

$y = 2 + \frac{1+\cos 2x}{2} - \frac{1}{2} \sin 2x = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}(\cos 2x - \sin 2x)$

ここで、三角関数の合成を行う。

$\cos 2x - \sin 2x = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \sin(2x + \alpha) = \sqrt{2}\sin(2x + \alpha)$

ただし、$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

したがって、

$y = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4})$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ より、 $-\frac{\pi}{4} \leqq 2x - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3\pi}{4}$

この範囲において、$\sin(2x - \frac{\pi}{4})$ の最大値は 1 ($2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $x = \frac{3\pi}{8}$ のとき)、最小値は $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ ($2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$ すなわち $x=0$ のとき)

最大値は $y = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5+\sqrt{2}}{2}$

最小値は $y = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{5+\sqrt{2}}{2}$

最小値: $2$