曲線 $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ と、この曲線上の点 $(0, -1)$ における接線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ と、この曲線上の点 $(0, -1)$ における接線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ を $f(x)$ とおきます。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

次に、点 $(0, -1)$ における接線を求めるため、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3$

$x = 0$ における接線の傾きは $f'(0)$ で求められます。

$f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 3 = 3$

よって、点 $(0, -1)$ における接線の方程式は、

$y - (-1) = 3(x - 0)$

$y + 1 = 3x$

$y = 3x - 1$

次に、曲線 $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ と接線 $y = 3x - 1$ の交点を求めます。

$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 3x - 1$

$x^3 - 3x^2 = 0$

$x^2(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

交点の $x$ 座標は $0, 3$ であることがわかりました。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{3} |(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (3x - 1)| dx$

$S = \int_{0}^{3} |x^3 - 3x^2| dx$

$S = \int_{0}^{3} |x^2(x - 3)| dx$

$0 \le x \le 3$ の範囲で $x - 3 \le 0$ なので、$x^2(x - 3) \le 0$ より絶対値を外すと、

$S = \int_{0}^{3} -x^2(x - 3) dx$

$S = \int_{0}^{3} (-x^3 + 3x^2) dx$

$S = [-\frac{1}{4}x^4 + x^3]_{0}^{3}$

$S = (-\frac{1}{4}(3)^4 + (3)^3) - (-\frac{1}{4}(0)^4 + (0)^3)$

$S = -\frac{81}{4} + 27$

$S = -\frac{81}{4} + \frac{108}{4}$

$S = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$