$a \geq 0$ とする。関数 $f(x) = |x^3 - 3a^2x|$ の $0 \leq x \leq 1$ における最大値 $M(a)$ を求めよ。また、$M(a)$ を最小にする $a$ の値とその最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a \geq 0$ とする。関数 $f(x) = |x^3 - 3a^2x|$ の $0 \leq x \leq 1$ における最大値 $M(a)$ を求めよ。また、$M(a)$ を最小にする $a$ の値とその最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = x^3 - 3a^2x$ とおき、$f(x) = |g(x)|$ となる。

$g'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x^2 - a^2)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = \pm a$ であるが、$x \geq 0$ より、$x=a$ のとき、$g'(x) = 0$ となる。

(i) $0 \leq a \leq 1$ のとき

$g(0) = 0$

$g(a) = a^3 - 3a^3 = -2a^3$

$g(1) = 1 - 3a^2$

$0 \leq x \leq 1$ における $g(x)$ の増減を考えると、

$0 \leq x < a$ で $g'(x) < 0$ (減少)、$a < x \leq 1$ で $g'(x) > 0$ (増加)となる。

$f(x) = |g(x)|$ の最大値を考える。

$g(a) = -2a^3 < 0$ であり、

$g(1) = 1 - 3a^2$ なので、

(a) $1 - 3a^2 \geq 0$ つまり $0 \leq a \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき

$f(0) = 0$

$f(a) = |-2a^3| = 2a^3$

$f(1) = |1 - 3a^2| = 1 - 3a^2$

$M(a) = \max\{2a^3, 1 - 3a^2\}$

$2a^3 = 1 - 3a^2$ となる $a$ は $2a^3 + 3a^2 - 1 = 0$ を満たす。

$(a+1)^2(2a-1) = 0$ となるので、$a = \frac{1}{2}$

$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$ のとき $1 - 3a^2 \geq 2a^3$ なので、$M(a) = 1 - 3a^2$

$\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $1 - 3a^2 \leq 2a^3$ なので、$M(a) = 2a^3$

(b) $1 - 3a^2 < 0$ つまり $\frac{1}{\sqrt{3}} < a \leq 1$ のとき

$f(0) = 0$

$f(a) = 2a^3$

$f(1) = |1 - 3a^2| = 3a^2 - 1$

$M(a) = \max\{2a^3, 3a^2 - 1\}$

$2a^3 = 3a^2 - 1$ となるのは、$2a^3 - 3a^2 + 1 = 0$ を満たすとき。

$(a-1)^2(2a+1) = 0$ なので、$a = 1$

$\frac{1}{\sqrt{3}} < a < 1$ のとき $2a^3 < 3a^2 - 1$ なので、$M(a) = 3a^2 - 1$

(ii) $a > 1$ のとき

$g(0) = 0$

$g(1) = 1 - 3a^2 < 0$

$g(x)$ は $0 \leq x \leq 1$ で単調減少なので、

$M(a) = |g(0)| = 0$ または $|g(1)| = 3a^2 - 1$ の大きい方である。

$M(a) = 3a^2 - 1$

よって、

$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$ のとき $M(a) = 1 - 3a^2$

$\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $M(a) = 2a^3$

$\frac{1}{\sqrt{3}} \leq a \leq 1$ のとき $M(a) = 3a^2 - 1$

$1 < a$ のとき $M(a) = 3a^2 - 1$

$M(a)$ が最小となるのは、$a = \frac{1}{2}$ のときで、$M(\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$M(a)$ を最小にする $a$ の値は $\frac{1}{2}$ で、その最小値は $\frac{1}{4}$ である。