関数 $f(x) = |2-|x||$ と $g(x) = |2-f(x)|$ について、いくつかの方程式の解の個数や範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |2-|x||$ と $g(x) = |2-f(x)|$ について、いくつかの方程式の解の個数や範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 0$ の解を求める。

$|2-|x|| = 0$ より、$2-|x| = 0$ なので、 $|x| = 2$。よって、$x = -2, 2$。ただし、ア < イなので、ア = -2, イ = 2。

(2) $f(x) = 1$ の解の個数を求める。

$|2-|x|| = 1$ より、$2-|x| = 1$ または $2-|x| = -1$。

$2-|x| = 1$ のとき、$|x| = 1$ なので、$x = -1, 1$。

$2-|x| = -1$ のとき、$|x| = 3$ なので、$x = -3, 3$。

したがって、解は $x = -3, -1, 1, 3$ の4個。

(3) $f(x) = a$ がちょうど2個の解を持つような $a$ の範囲を求める。

$f(x) = |2-|x||$ のグラフを考えると、

- $x \ge 0$ のとき、$f(x) = |2-x|$ であり、$x < 0$ のとき、$f(x) = |2+x|$。

- $x \ge 2$ のとき、$f(x) = x-2$。

- $0 \le x < 2$ のとき、$f(x) = 2-x$。

- $x < -2$ のとき、$f(x) = -x-2$。

- $-2 \le x < 0$ のとき、$f(x) = x+2$。

$f(x)=a$ のグラフと $y=a$ のグラフが2つの交点を持つのは、$a=0$ または $a>2$のとき。 $a$は正の定数より、$a > 2$。

または、$a=2$ の場合、グラフを描くと、$y=a$と$f(x)$のグラフが3つの交点を持つ。

$y = |2-|x||$ のグラフは、$x=0$ で極大値 $2$ を持ち、$x=2$ と $x=-2$ で $0$ となる。

$f(x)=a$ の解が2つになるのは、$a=0$ または、$a>2$。 正の定数なので、$a>2$。

(4) $g(x) = 0$ の解の個数を求める。

$g(x) = |2-f(x)| = 0$ より、$2-f(x) = 0$ なので、$f(x) = 2$。

$f(x) = |2-|x|| = 2$ より、$2-|x| = 2$ または $2-|x| = -2$。

$2-|x| = 2$ のとき、$|x| = 0$ なので、$x = 0$。

$2-|x| = -2$ のとき、$|x| = 4$ なので、$x = -4, 4$。

したがって、解は $x = -4, 0, 4$ の3個。

(5) $g(x) = 2$ の最小の解を求める。

$g(x) = |2-f(x)| = 2$ より、$2-f(x) = 2$ または $2-f(x) = -2$。

$2-f(x) = 2$ のとき、$f(x) = 0$。 よって、$x = -2, 2$。

$2-f(x) = -2$ のとき、$f(x) = 4$。 $|2-|x|| = 4$ より、$2-|x| = 4$ または $2-|x| = -4$。

$2-|x| = 4$ のとき、$|x| = -2$ となり不適。

$2-|x| = -4$ のとき、$|x| = 6$ なので、$x = -6, 6$。

したがって、解は $x = -6, -2, 2, 6$。最小の解は $x = -6$。

(6) $g(x) = a$ が持つ最大の解の個数を求める。

$g(x) = |2-f(x)| = a$ で、$f(x) = |2-|x||$。

$g(x)$ のグラフを考えると、$f(x)$ のグラフを $y$ 軸方向に $-2$ シフトし、絶対値を取ったもの。

$f(x)$ は、$x=0$ で最大値 $2$ を持つ。したがって、$g(0) = |2-2| = 0$。

$x \to \infty$ で、$f(x) \to \infty$ なので、$g(x) \to \infty$。

$f(x) = 0$ となる $x$ は $x = -2, 2$ であり、$g(-2) = g(2) = |2-0| = 2$。

$f(x)$ が $2$ より小さいとき、例えば $f(x)=1$ の解は $4$ つあり、$2-1 = 1$, $|1| = 1$となる$x$も4つ。

$g(x) = a$ の最大解の個数は$4$つ。

3. 最終的な答え

(1) ア = -2, イ = 2

(2) ウ = 4

(3) エ = a>2

(4) オ = 3

(5) カ = -6

(6) キ = 4