与えられた積分 $\int e^{2x} \sin 3x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int e^{2x} \sin 3x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いることによって解きます。

まず、$u = \sin 3x$、$dv = e^{2x} dx$ とおくと、$du = 3\cos 3x dx$、$v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となります。したがって、部分積分より、

$$\int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin 3x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (3\cos 3x) dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} \int e^{2x} \cos 3x dx$$

次に、$\int e^{2x} \cos 3x dx$ を計算するために、再び部分積分を行います。$u = \cos 3x$、$dv = e^{2x} dx$ とおくと、$du = -3\sin 3x dx$、$v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となります。したがって、

$$\int e^{2x} \cos 3x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos 3x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-3\sin 3x) dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{2} \int e^{2x} \sin 3x dx$$

これを元の式に代入すると、

$$\int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{2} \int e^{2x} \sin 3x dx \right)$$

$$\int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{2x} \cos 3x - \frac{9}{4} \int e^{2x} \sin 3x dx$$

この式を整理して、$\int e^{2x} \sin 3x dx$ について解きます。

$$\int e^{2x} \sin 3x dx + \frac{9}{4} \int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{2x} \cos 3x$$

$$\frac{13}{4} \int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{2x} \cos 3x$$

$$\int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{4}{13} \left( \frac{1}{2}e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{2x} \cos 3x \right)$$

$$\int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{2}{13}e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{13} e^{2x} \cos 3x + C$$

$$\int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{e^{2x}}{13} (2\sin 3x - 3\cos 3x) + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{e^{2x}}{13}(2\sin 3x - 3\cos 3x) + C$