問題は、関数 $F(x)$ と $G(x)$ が与えられた条件を満たすように、これらの関数や導関数 $f(x)$ の性質を調べるものです。具体的には、$F(x)$ の導関数が $f(x)$ であり、$F(x)$ は $x=0$ で極小値0をとり、$G(x)$ は $x=k$ で極大値0をとるという条件が与えられています。 (1) では、$F(x) = 2x^3 + 3x^2$ の場合を考え、$f(x)$ を求め、$F(x)$ が極大値をとる $x$ の値、 $G(x)$ を求め、$G(x)$ が極小値をとる $x$ の値と積分定数 $C$ を求めます。 (2) では、$k > 0$ の場合を考え、$F(x)$ と $G(x)$ の極値について調べます。特に、$F(x)$ が $x=0$ で極小値をとること、$G(x)$ が $x=k$ で極大値をとることを利用して、$f(0)$、$f(k)$ の値を求め、 $f(x)$ の符号の変化を調べ、$y=F(x)$ のグラフの概形を推測します。

1. 問題の内容

問題は、関数 $F(x)$ と $G(x)$ が与えられた条件を満たすように、これらの関数や導関数 $f(x)$ の性質を調べるものです。具体的には、$F(x)$ の導関数が $f(x)$ であり、$F(x)$ は $x=0$ で極小値0をとり、$G(x)$ は $x=k$ で極大値0をとるという条件が与えられています。

(1) では、$F(x) = 2x^3 + 3x^2$ の場合を考え、$f(x)$ を求め、$F(x)$ が極大値をとる $x$ の値、 $G(x)$ を求め、$G(x)$ が極小値をとる $x$ の値と積分定数 $C$ を求めます。

(2) では、$k > 0$ の場合を考え、$F(x)$ と $G(x)$ の極値について調べます。特に、$F(x)$ が $x=0$ で極小値をとること、$G(x)$ が $x=k$ で極大値をとることを利用して、$f(0)$、$f(k)$ の値を求め、 $f(x)$ の符号の変化を調べ、$y=F(x)$ のグラフの概形を推測します。

2. 解き方の手順

(1)

- $f(x)$ を求める: $F(x) = 2x^3 + 3x^2$ なので、$f(x) = F'(x) = 6x^2 + 6x$ 。したがって、ア = 6, イ = 6。

- $F(x)$ が極大値をとる $x$ を求める: $f(x) = 6x(x+1) = 0$ より、$x = 0, -1$ 。 $F'(x) = f(x)$ の符号の変化を調べると、$x=-1$ で $f(x)$ が正から負に変わるので、$x=-1$ で極大値をとる。したがって、ウエ = -1。

- $G(x)$ を求める: $G'(x) = f(x)$ なので、$G(x) = \int f(x) dx = \int (6x^2 + 6x) dx = 2x^3 + 3x^2 + C$ 。したがって、オ = 2, カ = 3。

- $G(x)$ が極小値をとる $x$ を求める: $G'(x) = f(x) = 6x(x+1)$ なので、$x=0, -1$ が極値の候補。$G(x)$ が $x=k$ で極大値をとるので、極小値は $x=0$ ではない。したがって、$x = -1$ で極小値をとる。ゆえに、キ = -1。

- $C$ を求める: $G(k) = 0$ より $G(0) = 0$ 。$G(x) = 2x^3 + 3x^2 + C$ より $G(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 + C = C = 0$。 $G(x)$ が $x = k$ で極大値をとるので、$G(0) = 0$。したがって、$C=0$。 ゆえに、クケ = 0。

(2)

- $f(0)$ を求める: $F(x)$ が $x=0$ で極小値をとるので、$F'(0) = f(0) = 0$ 。したがって、コ = 0。

- $x=0$ の前後で $f(x)$ の符号を調べる: $F(x)$ が $x=0$ で極小値をとるので、$x=0$ の前後で $f(x)$ の符号は負から正に変化する。したがって、サ = 負。

- $f(k)$ を求める: $G(x)$ が $x=k$ で極大値をとるので、$G'(k) = f(k) = 0$ 。したがって、シ = 0。

- $x=k$ の前後で $f(x)$ の符号を調べる: $G(x)$ が $x=k$ で極大値をとるので、$x=k$ の前後で $f(x)$ の符号は正から負に変化する。したがって、ス = 正。

- $y=F(x)$ のグラフの概形: $F(0) = 0$ であり、$F(x)$ は $x=0$ で極小値、かつ $F(x)$ の導関数が $f(x)$ であることを考慮すると、$y=F(x)$ のグラフは下に凸の放物線の一部である。

3. 最終的な答え

(1)

ア = 6, イ = 6

ウエ = -1

オ = 2, カ = 3

キ = -1

クケ = 0

(2)

コ = 0

サ = 負

シ = 0

ス = 正

セ = 下に凸の放物線