問題は、定積分の計算、広義積分の計算、および2変数関数 $f(x, y)$ の偏微分、極値を求める問題です。具体的には以下の通りです。 問題1: 定積分を求める。 (1) $\int_0^1 (-x^3 + x) dx$ (2) $\int_1^2 \frac{x^2}{x+1} dx$ (3) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(3x) \sin(2x) dx$ (4) $\int_0^{\pi} e^{-x} \cos x dx$ 問題2: 広義積分を求める。 (1) $\int_1^{\infty} \frac{1}{x(x^2+1)} dx$ (2) $\int_e^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$ 問題3: 関数 $f(x, y) = \frac{xe^{-x^2}}{2 + \cos y}$ について、以下の問いに答える。 (1) $f_x(x, y)$ を求めよ。 (2) $f_y(x, y)$ を求めよ。 (3) $f_x(x, y) = f_y(x, y) = 0$ が成り立つ点 $(x, y)$ を全て求めよ。 (4) $f$ が極値をとる点 $(x, y)$ および $f$ の極大値と極小値を全て求めよ。

1. 問題の内容

問題は、定積分の計算、広義積分の計算、および2変数関数 $f(x, y)$ の偏微分、極値を求める問題です。具体的には以下の通りです。

問題1: 定積分を求める。

(1) $\int_0^1 (-x^3 + x) dx$

(2) $\int_1^2 \frac{x^2}{x+1} dx$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(3x) \sin(2x) dx$

(4) $\int_0^{\pi} e^{-x} \cos x dx$

問題2: 広義積分を求める。

(1) $\int_1^{\infty} \frac{1}{x(x^2+1)} dx$

(2) $\int_e^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$

問題3: 関数 $f(x, y) = \frac{xe^{-x^2}}{2 + \cos y}$ について、以下の問いに答える。

(1) $f_x(x, y)$ を求めよ。

(2) $f_y(x, y)$ を求めよ。

(3) $f_x(x, y) = f_y(x, y) = 0$ が成り立つ点 $(x, y)$ を全て求めよ。

(4) $f$ が極値をとる点 $(x, y)$ および $f$ の極大値と極小値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $\int_0^1 (-x^3 + x) dx = [-\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}]_0^1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

(2) $\int_1^2 \frac{x^2}{x+1} dx = \int_1^2 \frac{x^2 - 1 + 1}{x+1} dx = \int_1^2 (x - 1 + \frac{1}{x+1}) dx = [\frac{x^2}{2} - x + \log|x+1|]_1^2 = (2 - 2 + \log 3) - (\frac{1}{2} - 1 + \log 2) = \log 3 - \log 2 + \frac{1}{2} = \log \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(3x) \sin(2x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}(\cos x - \cos 5x) dx = \frac{1}{2}[\sin x - \frac{1}{5} \sin 5x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} (\sin \frac{\pi}{4} - \frac{1}{5} \sin \frac{5\pi}{4}) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{5} (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{10}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6\sqrt{2}}{10} = \frac{3\sqrt{2}}{10}$

(4) $I = \int_0^{\pi} e^{-x} \cos x dx$ とする。部分積分を2回行う。

$I = [e^{-x} \sin x]_0^\pi + \int_0^\pi e^{-x} \sin x dx = 0 + \int_0^\pi e^{-x} \sin x dx = [-e^{-x} \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi e^{-x} \cos x dx = (e^{-\pi} - (-1)) - I$

$2I = e^{-\pi} + 1$

$I = \frac{e^{-\pi} + 1}{2}$

問題2:

(1) $\int_1^{\infty} \frac{1}{x(x^2+1)} dx = \int_1^{\infty} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}) dx = [\log x - \frac{1}{2} \log(x^2+1)]_1^\infty = [\log \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}]_1^\infty = \log 1 - \log \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 - (-\frac{1}{2} \log 2) = \frac{1}{2} \log 2$

(2) $\int_e^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$ とする。部分積分を行う。

$= [-\frac{\log x}{x}]_e^\infty + \int_e^\infty \frac{1}{x^2} dx = [-\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x}]_e^\infty = \lim_{x \to \infty} (-\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x}) - (-\frac{\log e}{e} - \frac{1}{e}) = 0 - (-\frac{1}{e} - \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

問題3:

(1) $f_x(x, y) = \frac{(1-2x^2)e^{-x^2}}{2+\cos y}$

(2) $f_y(x, y) = \frac{xe^{-x^2} \sin y}{(2 + \cos y)^2}$

(3) $f_x(x, y) = 0$ より $1-2x^2 = 0$ または $e^{-x^2}=0$ (不適) 。よって $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$f_y(x, y) = 0$ より $x=0$ または $\sin y = 0$ 。よって $y = n\pi$ ($n$は整数).

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin y = 0$ より、$y = n\pi$。

$f_x = 0$ と $f_y = 0$ を満たす $(x, y)$ は $( \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, n\pi)$ (nは整数).

(4) $(x, y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 2n\pi)$, $f = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{1}{2}}}{3} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{e}}$ は極大値。

$(x, y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, (2n+1)\pi)$, $f = -\frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1 \sqrt{e}}$ は極小値。

$(x, y) = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, 2n\pi)$, $f = -\frac{1}{\sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{e}}$ は極小値。

$(x, y) = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, (2n+1)\pi)$, $f = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1 \sqrt{e}}$ は極大値。

まとめると

$(\frac{1}{\sqrt{2}}, 2n\pi), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, (2n+1)\pi)$ で極大値 $\frac{1}{3\sqrt{2e}}$

$(\frac{1}{\sqrt{2}}, (2n+1)\pi), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, 2n\pi)$ で極小値 $-\frac{1}{\sqrt{2e}}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\log \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{10}$

(4) $\frac{e^{-\pi} + 1}{2}$

問題2:

(1) $\frac{1}{2} \log 2$

(2) $\frac{2}{e}$

問題3:

(1) $f_x(x, y) = \frac{(1-2x^2)e^{-x^2}}{2+\cos y}$

(2) $f_y(x, y) = \frac{xe^{-x^2} \sin y}{(2 + \cos y)^2}$

(3) $(x, y) = ( \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, n\pi)$ (nは整数)

(4) 極大値をとる点と値: $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 2n\pi), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, (2n+1)\pi)$ で極大値 $\frac{e^{-1/2}}{3\sqrt{2}}$.

極小値をとる点と値: $(\frac{1}{\sqrt{2}}, (2n+1)\pi), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, 2n\pi)$ で極小値 $-\frac{e^{-1/2}}{\sqrt{2}}$.