放物線 $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ 上の点 $(1, \frac{3}{2})$ における接線の方程式を求め、その放物線と接線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ 上の点 $(1, \frac{3}{2})$ における接線の方程式を求め、その放物線と接線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。

放物線 $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -x$

点 $(1, \frac{3}{2})$ における接線の傾きは、$x=1$ を代入して $-1$ となる。

接線の方程式は、傾き $-1$ で点 $(1, \frac{3}{2})$ を通るので、

$y - \frac{3}{2} = -1(x - 1)$

$y = -x + 1 + \frac{3}{2}$

$y = -x + \frac{5}{2}$

(2) 放物線と接線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

まず、接線と $x$ 軸の交点を求める。

$0 = -x + \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2}$

次に、放物線と $x$ 軸の交点を求める。

$0 = -\frac{x^2}{2} + 2$

$\frac{x^2}{2} = 2$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

$x=1$ で接しているので，$x=1$ から $x=\frac{5}{2}$ まで接線が上，$x=1$ から $x=2$ まで放物線が上。

求める面積は、$\int_{1}^{2} (-\frac{x^2}{2} + 2) dx + \int_{2}^{\frac{5}{2}} (-x + \frac{5}{2}) dx$

まず、$\int_{1}^{2} (-\frac{x^2}{2} + 2) dx = [-\frac{x^3}{6} + 2x]_{1}^{2} = (-\frac{8}{6} + 4) - (-\frac{1}{6} + 2) = -\frac{7}{6} + 2 = \frac{5}{6}$

次に、$\int_{2}^{\frac{5}{2}} (-x + \frac{5}{2}) dx = [-\frac{x^2}{2} + \frac{5}{2}x]_{2}^{\frac{5}{2}} = (-\frac{25}{8} + \frac{25}{4}) - (-\frac{4}{2} + \frac{10}{2}) = \frac{25}{8} - 3 = \frac{25 - 24}{8} = \frac{1}{8}$

したがって、面積は $\frac{5}{6} + \frac{1}{8} = \frac{20 + 3}{24} = \frac{23}{24}$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = -x + \frac{5}{2}$

面積: $\frac{23}{24}$