$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、関数 $y = \cos x + 2\sin^2 x + \frac{7}{8}$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、関数 $y = \cos x + 2\sin^2 x + \frac{7}{8}$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $\cos x$ の関数として表す。

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いると、

$y = \cos x + 2(1 - \cos^2 x) + \frac{7}{8}$

$y = \cos x + 2 - 2\cos^2 x + \frac{7}{8}$

$y = -2\cos^2 x + \cos x + \frac{23}{8}$

$t = \cos x$ とおくと、 $0 \le x < 2\pi$ より、$-1 \le t \le 1$ である。

$y = -2t^2 + t + \frac{23}{8}$

この関数は $t$ の2次関数なので、平方完成する。

$y = -2(t^2 - \frac{1}{2}t) + \frac{23}{8}$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + 2(\frac{1}{16}) + \frac{23}{8}$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + \frac{23}{8}$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{24}{8}$

$y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + 3$

$y$ は $t = \frac{1}{4}$ のとき最大値 $3$ をとる。

$t = \cos x = \frac{1}{4}$ となる $x$ は $0 \le x < 2\pi$ の範囲に存在する。

したがって、最大値は $3$。

次に最小値を考える。$t$ の範囲 $-1 \le t \le 1$ において、$t = \frac{1}{4}$ から最も遠い $t$ の値は $t = -1$。

$t = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 + (-1) + \frac{23}{8} = -2 - 1 + \frac{23}{8} = -3 + \frac{23}{8} = -\frac{24}{8} + \frac{23}{8} = -\frac{1}{8}$

したがって、最小値は $-\frac{1}{8}$。

3. 最終的な答え

最大値：3

最小値：$-\frac{1}{8}$