次の関数のグラフを書き、その周期を求めます。 (1) $y = \cos 4\theta$ (2) $y = \sin \frac{1}{3}\theta$

1. 問題の内容

次の関数のグラフを書き、その周期を求めます。

(1) $y = \cos 4\theta$

(2) $y = \sin \frac{1}{3}\theta$

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos 4\theta$ について

コサイン関数の基本的な形は $y = \cos \theta$ で、その周期は $2\pi$です。

$y = \cos k\theta$ の形の関数の周期は $\frac{2\pi}{|k|}$ となります。

この場合、$k = 4$ なので、周期は

$\frac{2\pi}{|4|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

グラフは、通常のコサイン関数のグラフを $\theta$ 軸方向に $\frac{1}{4}$ 倍に縮小したものになります。

具体的には、

$\theta = 0$ のとき $y = \cos 0 = 1$

$\theta = \frac{\pi}{8}$ のとき $y = \cos \frac{\pi}{2} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき $y = \cos \pi = -1$

$\theta = \frac{3\pi}{8}$ のとき $y = \cos \frac{3\pi}{2} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $y = \cos 2\pi = 1$

となります。

(2) $y = \sin \frac{1}{3}\theta$ について

サイン関数の基本的な形は $y = \sin \theta$ で、その周期は $2\pi$です。

$y = \sin k\theta$ の形の関数の周期は $\frac{2\pi}{|k|}$ となります。

この場合、$k = \frac{1}{3}$ なので、周期は

$\frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$

グラフは、通常のサイン関数のグラフを $\theta$ 軸方向に $3$ 倍に拡大したものになります。

具体的には、

$\theta = 0$ のとき $y = \sin 0 = 0$

$\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき $y = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$\theta = 3\pi$ のとき $y = \sin \pi = 0$

$\theta = \frac{9\pi}{2}$ のとき $y = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$

$\theta = 6\pi$ のとき $y = \sin 2\pi = 0$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = \cos 4\theta$ の周期は $\frac{\pi}{2}$

(2) $y = \sin \frac{1}{3}\theta$ の周期は $6\pi$