(2) 関数 $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 2x + 4$ のグラフで囲まれた図形の面積を求める。 (3) 放物線 $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ 上の点 $(1, \frac{3}{2})$ における接線 $l$ の方程式を求め、さらに、この放物線と接線 $l$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積を求める。

1. 問題の内容

(2) 関数 $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 2x + 4$ のグラフで囲まれた図形の面積を求める。

(3) 放物線 $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ 上の点 $(1, \frac{3}{2})$ における接線 $l$ の方程式を求め、さらに、この放物線と接線 $l$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(2)

2つの関数の交点を求める。

$x^2 + 1 = -x^2 + 2x + 4$

$2x^2 - 2x - 3 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

交点の $x$ 座標を $\alpha = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$, $\beta = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$ とする。

囲まれた図形の面積 $S$ は、

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (-x^2 + 2x + 4 - (x^2 + 1)) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (-2x^2 + 2x + 3) dx$

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 3x\right]_{\alpha}^{\beta}$

$S = -\frac{2}{3}(\beta^3 - \alpha^3) + (\beta^2 - \alpha^2) + 3(\beta - \alpha)$

ここで $\beta - \alpha = \sqrt{7}$, $\beta + \alpha = 1$

$\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = \sqrt{7}$

$\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \beta\alpha + \alpha^2) = (\beta - \alpha)((\beta + \alpha)^2 - \beta\alpha) = \sqrt{7}(1 - \beta\alpha)$

$\alpha\beta = \frac{1-7}{4} = -\frac{3}{2}$

$\beta^3 - \alpha^3 = \sqrt{7}(1 + \frac{3}{2}) = \frac{5\sqrt{7}}{2}$

$S = -\frac{2}{3} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{2} + \sqrt{7} + 3\sqrt{7} = -\frac{5\sqrt{7}}{3} + 4\sqrt{7} = \frac{7\sqrt{7}}{3}$

(3)

$y = -\frac{x^2}{2} + 2$ を微分すると $y' = -x$

点 $(1, \frac{3}{2})$ における接線の傾きは $y'(1) = -1$

接線 $l$ の方程式は $y - \frac{3}{2} = -1(x - 1)$

$y = -x + 1 + \frac{3}{2}$

$y = -x + \frac{5}{2}$

放物線と接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

まず、接線と $x$ 軸の交点を求める。

$-x + \frac{5}{2} = 0$

$x = \frac{5}{2}$

放物線と接線の交点は $x=1$.

面積 $S$ は、

$S = \int_{1}^{5/2} (-\frac{x^2}{2} + 2) dx - \int_{1}^{5/2} (-x + \frac{5}{2}) dx + \int_{0}^{1} (-\frac{x^2}{2}+2) dx$

$S = \int_{1}^{5/2} (-\frac{x^2}{2} + 2 - (-x + \frac{5}{2})) dx = \int_{1}^{5/2} (-\frac{x^2}{2} + x - \frac{1}{2}) dx$

$S = \left[-\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}x\right]_{1}^{5/2}$

$S = (-\frac{(5/2)^3}{6} + \frac{(5/2)^2}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}) - (-\frac{1}{6} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = (-\frac{125}{48} + \frac{25}{8} - \frac{5}{4}) - (-\frac{1}{6}) = -\frac{125}{48} + \frac{150}{48} - \frac{60}{48} + \frac{8}{48} = -\frac{27}{48} = \frac{9}{16}$

$x$軸より下の面積は負なので、$x$軸より上の面積を計算する。放物線と$x$軸の交点は、$y=0=-\frac{x^2}{2}+2$より、$x=\pm 2$。接線と$x$軸の交点は、$x=5/2$。

求める面積は$\int_{1}^{2}(-\frac{x^2}{2}+2)dx + \int_{2}^{5/2}(-x+\frac{5}{2})dx$ = $\int_{1}^{2}(-\frac{x^2}{2}+2)dx$ + $\int_{2}^{5/2}(-x+\frac{5}{2})dx = [-\frac{x^3}{6}+2x]_{1}^{2} + [-\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}x]_{2}^{5/2}$

= $(-\frac{8}{6}+4)-(-\frac{1}{6}+2) + (-\frac{25}{8}+\frac{25}{4}) - (-2+5) = (-\frac{4}{3}+4)-(-\frac{1}{6}+2) + (-\frac{25}{8}+\frac{50}{8}) - (3) = \frac{8}{3}+\frac{1}{6}-2+\frac{25}{8}-3 = \frac{16+1}{6}-5+\frac{25}{8} = \frac{17}{6}-5+\frac{25}{8} = \frac{17*4}{24}-\frac{5*24}{24}+\frac{25*3}{24} = \frac{68-120+75}{24}=\frac{23}{24}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{7\sqrt{7}}{3}$

(3) 接線 $l$ の方程式: $y = -x + \frac{5}{2}$

面積: $\frac{9}{16}$

(3) 面積 :$\frac{23}{24}$