関数 $f(x) = \frac{x}{1-x}$ と $g(x) = -\sqrt{x+1}$ が与えられたとき、合成関数 $y = (f \circ g)(x) = f(g(x))$ の定義域と値域を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{1-x}$ と $g(x) = -\sqrt{x+1}$ が与えられたとき、合成関数 $y = (f \circ g)(x) = f(g(x))$ の定義域と値域を求める。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $f(g(x))$ を求める。

$f(g(x)) = f(-\sqrt{x+1}) = \frac{-\sqrt{x+1}}{1 - (-\sqrt{x+1})} = \frac{-\sqrt{x+1}}{1 + \sqrt{x+1}}$

次に、定義域を求める。

$g(x)$ の定義域は、根号の中が0以上である必要があるため、$x+1 \geq 0$ より、$x \geq -1$ である。

また、$f(g(x))$ において、分母が0にならない条件が必要である。つまり、$1 + \sqrt{x+1} \neq 0$ である必要がある。$\sqrt{x+1}$ は常に0以上であるため、$1 + \sqrt{x+1} \geq 1 > 0$ となり、分母が0になることはない。

したがって、$f(g(x))$ の定義域は $x \geq -1$ である。

最後に、値域を求める。

$g(x) = -\sqrt{x+1}$ の値域を考える。$x \geq -1$ より、$x+1 \geq 0$ である。

したがって、$\sqrt{x+1} \geq 0$ となり、$g(x) = -\sqrt{x+1} \leq 0$ である。

また、$g(x)$ は、$x = -1$ のとき最大値0をとり、$x$ が大きくなるにつれて小さくなる（負の方向に大きくなる）。

したがって、$g(x)$ の値域は $y \leq 0$ である。

次に、$y = \frac{g(x)}{1 + g(x)}$ の値域を求める。$g(x) = z$ とおくと、$y = \frac{z}{1+z}$ であり、$z \leq 0$ である。

$y = \frac{z}{1+z} = \frac{z+1-1}{1+z} = 1 - \frac{1}{1+z}$

$z \leq 0$ であるから、$1+z \leq 1$ である。

$1+z > 0$ より $\frac{1}{1+z} \geq 1$ であり、$z = -1$ のとき発散する。

したがって、$y = 1 - \frac{1}{1+z}$ について、$z = 0$ のとき、$y = \frac{0}{1+0} = 0$ であり、$z \to -1$ に近づくと、$y \to -\infty$ となる。

$y = \frac{z}{1+z}$ を $z$ について解くと、$y(1+z) = z$ より、$y + yz = z$ であり、$z(1-y) = y$ より、$z = \frac{y}{1-y}$ である。

$z \leq 0$ であるから、$\frac{y}{1-y} \leq 0$ である。これは、$y < 0$ または $y \geq 1$ を意味する。

しかし、$y \geq 1$ の場合、$z = \frac{y}{1-y}$ は負になるため条件を満たす。

したがって、$y < 0$ である。

$x = -1$ のとき、$g(x) = 0$ であり、$f(g(x)) = f(0) = 0$ である。

$x > -1$ のとき、$g(x) < 0$ であるから、$f(g(x)) = \frac{g(x)}{1+g(x)} < 0$ である。

また、$g(x)$ は、$x \geq -1$ で単調減少であるから、$f(g(x))$ も単調減少である。

$x \to \infty$ のとき、$g(x) \to -\infty$ であるから、$f(g(x)) = \frac{g(x)}{1+g(x)} = \frac{1}{\frac{1}{g(x)} + 1} \to 1$ である。

したがって、$y < 0$ である。

したがって、値域は $y < 0$ である。

以上より、定義域は $x \geq -1$ であり、値域は $-\infty < y \leq 0$ である。

$g(x)=-\sqrt{x+1}$

$f(g(x))=\frac{-\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}}$

$x\geq -1$

$-\infty<y\leq0$

3. 最終的な答え

定義域は $x \geq -1$ であり、値域は $-\infty < y \leq 0$ である。