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(1) $0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos x + 2\sin^2 x + \frac{7}{8}$ の最大値と最小値を求めよ。 (2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $\sqrt{3}\sin x + \cos x \ge \sqrt{3}$ を解け。

解析学三角関数最大値最小値三角不等式
2025/8/11

1. 問題の内容

(1) 0≤x<2π0 \le x < 2\pi のとき、関数 y=cos⁡x+2sin⁡2x+78y = \cos x + 2\sin^2 x + \frac{7}{8} の最大値と最小値を求めよ。
(2) 0≤x<2π0 \le x < 2\pi のとき、不等式 3sin⁡x+cos⁡x≥3\sqrt{3}\sin x + \cos x \ge \sqrt{3} を解け。

2. 解き方の手順

(1)
まず、関数 y=cos⁡x+2sin⁡2x+78y = \cos x + 2\sin^2 x + \frac{7}{8} を変形する。
sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x を代入すると、
y=cos⁡x+2(1−cos⁡2x)+78=cos⁡x+2−2cos⁡2x+78=−2cos⁡2x+cos⁡x+238y = \cos x + 2(1 - \cos^2 x) + \frac{7}{8} = \cos x + 2 - 2\cos^2 x + \frac{7}{8} = -2\cos^2 x + \cos x + \frac{23}{8}
t=cos⁡xt = \cos x とおくと、−1≤t≤1-1 \le t \le 1 であり、
y=−2t2+t+238=−2(t2−12t)+238=−2(t−14)2+2(116)+238=−2(t−14)2+18+238=−2(t−14)2+3y = -2t^2 + t + \frac{23}{8} = -2(t^2 - \frac{1}{2}t) + \frac{23}{8} = -2(t - \frac{1}{4})^2 + 2(\frac{1}{16}) + \frac{23}{8} = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + \frac{23}{8} = -2(t - \frac{1}{4})^2 + 3
よって、y=−2(t−14)2+3y = -2(t - \frac{1}{4})^2 + 3
t=14t = \frac{1}{4} のとき、最大値 33 をとる。cos⁡x=14\cos x = \frac{1}{4} となる xx は存在する。
t=−1t = -1 のとき、最小値 y=−2(−1−14)2+3=−2(−54)2+3=−2(2516)+3=−258+248=−18y = -2(-1 - \frac{1}{4})^2 + 3 = -2(-\frac{5}{4})^2 + 3 = -2(\frac{25}{16}) + 3 = -\frac{25}{8} + \frac{24}{8} = -\frac{1}{8} をとる。cos⁡x=−1\cos x = -1 となる xx は x=πx = \pi である。
最大値：3
最小値：−18-\frac{1}{8}
(2)
3sin⁡x+cos⁡x≥3\sqrt{3}\sin x + \cos x \ge \sqrt{3}
合成すると
2sin⁡(x+π6)≥32\sin(x + \frac{\pi}{6}) \ge \sqrt{3}
sin⁡(x+π6)≥32\sin(x + \frac{\pi}{6}) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}
x+π6=θx + \frac{\pi}{6} = \theta とおくと、0≤x<2π0 \le x < 2\pi より π6≤θ<13π6\frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{13\pi}{6}
sin⁡θ≥32\sin\theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2} を満たす θ\theta の範囲は、π3≤θ≤2π3\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{2\pi}{3} または 7π3≤θ≤8π3\frac{7\pi}{3} \le \theta \le \frac{8\pi}{3}
π3≤x+π6≤2π3\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3} より π3−π6≤x≤2π3−π6\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \le x \le \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} つまり、π6≤x≤π2\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}
7π3≤x+π6≤8π3\frac{7\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{8\pi}{3} より 7π3−π6≤x≤8π3−π6\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \le x \le \frac{8\pi}{3} - \frac{\pi}{6} つまり、13π6≤x≤15π6=5π2\frac{13\pi}{6} \le x \le \frac{15\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}。ただし、x<2πx<2\piより、x≤11π6x \le \frac{11\pi}{6}
π6≤x≤π2\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}
13π6≤x≤5π2\frac{13\pi}{6} \le x \le \frac{5\pi}{2}
π6≤x≤π2\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}

3. 最終的な答え

(1)
最大値: 3
最小値: -1/8
(2)
π6≤x≤π2\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}

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